La fonction ln.

La fonction logarithme népérien, $\ln$, est l'unique fonction définie sur $]0;+\infty[$ qui s'annule en 1 dont la dérivée est la fonction $\frac1{x}$

  1. Observer la fonction $\frac1{x}$ à l'aide de géogébra.
  2. Déterminer le signe de la fonction $\frac1{x}$ à l'aide de cette observation.
  3. Vérifier que la fonction $\frac1{x}$ est la dérivée de la fonction logarithme népérien. Vous pouvez utiliser la commande $f'(x)$ sur géogébra.
  4. Déterminer les variations de la fonction logarithme népérien à l'aide de cette observation.
  5. Vérifier les résultats précédents avec Xcas.

Pour vous aider, un exemple de tableau de variations en téléchargement ( A modifier et faire des copier-coller) : ICI

La correction en vidéo

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\frac{1+\ln(x)}{x^2}$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$. Qu'en déduire?
  2. Déterminer $f'(x)$
  3. Résoudre $-1-2ln(x)>0$ pour $x\in]0;+\infty[$
  4. Établir le tableau de variation de $f$ en intégrant la justification du signe de $f'(x)$.

Pour vous aider, un exemple de tableau de variations en téléchargement ( A modifier et faire des copier-coller) : ICI

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Tangente

La tangente de $f$ en $a$, $T_a$ est une droite qui est très proche de la courbe représentative de $f$ en $a$.

on a $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

l'expression $f'(a)(x-a)+f(a)$ est une approximation d'ordre 1 de $f$ en $a$.

Suite de l'exercice 2.

  1. Déterminer la tangente en 1 de $f$, $T_1$.
  2. représenter $f$ et $T_1$. Observer le "rapprochement" des courbes au voisinage de 1.
  3. calculer $f(1,001)$ la valeur obtenue en remplaçant $x$ par $1,001$ dans l'équation de la tangente.
  4. Déterminer les points d'intersections de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des ordonnées.
  5. Déterminer les points d'intersections de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des abscisses.
  6. A l'aide de Géogebra, vérifier l'ensemble de vos résultats.

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Evaluation

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