La notions de limites par les courbes
Nous avons maintenant déterminer les variations d'une fonction. Pour compméter l'étude d'une fonciton nous avons besoin de déterminer les limites d'une fonction. Il s'agit de comprendre le comportement d'une fonction en l'infini ou bien en des
endroits particuliers comme des valeurs interdites.
Nous allons apprendre à repérer les valeurs des limites à partir du tracée d'une courbe puis à l'aide de xcas
On notera :
- la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ainsi : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$
- la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ ainsi : $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$
- la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures à 2 ainsi : $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
- la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs inférieures à 2 ainsi : $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
Nous allons utiliser Geogebra en ligne pour représenter les fonctions Geogebra
Représenter pour chacune des fonctions les limites aux bornes de l'ensemble de définition à partir de géogebra
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x+1$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-2\}$ par $f(x)=\frac{1}{x+2}$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\exp(-3x)$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$par $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$
- la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
- la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty$ par $f(x)=\ln(x+1)$
Limites et xcas
Maintenant que vous comprenez graphiquement la notion de limites, passons à leur détermination avec xcas.
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-2\}$ par $f(x)=\frac{1}{x+2}$
On commence par implémenter la fonction en xcas : f(x):=1/(x+2)
- Pour déterminer la limite en $-\infty$ il faudra écrire en xcas
limit(f(x),x,-inf)
- Pour déterminer la limite en $+\infty$ il faudra écrire en xcas
limit(f(x),x,+inf)
- Pour déterminer la limite en 1 il faudra écrire en xcas
limit(f(x),x,1)
- Pour déterminer la limite en -2 par valeurs inférieures à -2 il faudra écrire en xcas
limit(f(x),x,-2,-1)
- Pour déterminer la limite en -2 par valeurs supérieures à -2 il faudra écrire en xcas
limit(f(x),x,-2,1)
Déterminer avec xcas les limites des fonctions suivantes aux bornes de l'ensemble de définition
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x+1$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-3\}$ par $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=exp(-3x)$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-1\}$ par $f(x)=\frac{x+2}{(x+1)^2}$
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$par $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$
- la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty$ par $f(x)=\ln(x+1)$