Dans le plan complexe, on note $\mathcal{E}$, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z=z^2$ soit un réel.

Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$, puis le représenter graphiquement dans un repère orthonormé $(0 ; \vec{u},\vec{v})$.

1. Dans le plan complexes, placer les points $D(2-i)$, $E(6-i)$ et $F\left(4+(2\sqrt{3}-1)i\right)$.
2. Montrer que le triangle $DEF$ est équilatéral.
3. Calculer l'aire du triangle $DEF$.

On donne les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=2+5i$ et $z_B=-3i$. $M$ désigne un point du plan complexe d'affixe $z$.
1. Déterminer les affixes des vecterus $\overrightarrow{AM}$, et $\overrightarrow{BM}$
2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ tel que : $|z-2-5i|=|z+3i|$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On donne le point $A$ d'affixe $1-i$.

1. $M$ est un point d'affixe $z$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $M$ du plan dont l'affixe vérifie $|z-1+i|=2$

1. 1. Déterminer un argument du nombre complexe $z=-1+i\sqrt3$.

   2. Soit $z_1$ un nombre complexe tel que |z|=3 et $arg(z_1)=\dfrac{3\pi}{2} ~[2\pi]$. Déterminer la forme algébrqiue du nombre complexe $z_1$.

2. 1. Déterminer un argument du nombre complexe $z_2=1+i$.

   2. Déterminer dans le repère orthonormé $(O ; \vec{u},\vec{v})$, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $arg(z)= \dfrac{\pi}{4} ~[2\pi]$

$z$ est un nombre complexe non nul de forme algébrique $z=x+iy$ avec $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$ et dont une forme trigonométrique est $z=r(cos(\theta)+isin(\theta))$ avec $z=a+ib$ avec $r$ et $\theta$ des réels et $r>0$.

Voici une fonction FT qui :

• prend en paramètres deux nombres réels a et b qui correspondent respectivement aux parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe $z$,

• renvoie le triplet r,c, s correspondant respectivement au module de $z$, à $cos(\theta)$ et à $sin(\theta)$.

from math import *
def FT(a,b):
	r = ..................
	c = ..................
	s = ................. 
    return r, c, s

1. Compléter les lignes 3, 4 et 5 de ce programme
2. Saisir et tester cette fonction

Pour tester cette fonction, vous pouvez utiliser Edupython ou directement le Trinket ci-dessous :

On se place dans le plan complexe d'origine O.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
   2. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $z_n = \dfrac{(1 + \text{i})^{n+1}}{2^n}.$
   2. En déduire pour quelles valeurs de $n$ les points $A_n$ appartiennent-ils à l'axe des abscisses ?

On donne les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et $z_B=2i$.

1. 1. Donner une forme trigonométrique de $z_A$ et $z_B$.
   2. Placer avec précision ces points sur une figure.
2. $F$ est le point d'affixe $z_F=z_A+z_B$.
   1. Placer sur la figure le point $F$.
   2. Donner la forme algébrique de $z_F$.
   3. Démontrer que OAFB est un losange.
3. 1. Justifier que $\widehat{UOF}=\dfrac{5\pi}{12}$ et écrire une forme trigonométrique de $z_F$.
   2. Démontrer alors que : $cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

A tout nombre complexe $z$, différent de $-i$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z'=\dfrac{1+iz}{1-iz}$.

On note $M$ le point d'affixe $z$, et $M'$ le point d'affixe $z'$

On se propose de déterminer l'ensemble des nombres complexes $z'$ lorsque $z$ est un réel.

1. Donner la forme algébrique de $z'$ dans chacun des cas suivants :

   • $z=3$
   • $z=-4$
   • $z=i$
   • $z=1+i$
2. Conjecture avec un logiciel de géométrie

1. Sur la figure ci-dessous, nous avons place un point $M$ d'affixe $z$, sur l'axe des abscisses.

   Saisissez :
2. Déplacer la point $M$ afin de conjecturer la nature de l'ensemble des nombres complexes $z'$.
3. 1. Démontrer que si $z$ est un nombre réel, alors $z'$ appartient à l'ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module 1
   2. La réciproque de l'implication précédente est-elle vraie ? Le démontrer.

$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes $z_A=1$, $z_B=i$ et $z_C=3+2i$. $M$ désigne un point du plan complexe d'affixe $z$.
1. Ecrire en fonction de $z$ les normes des vecterus $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{CM}$
2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ tel que : $|z-1|=|z-i|$ et $|z-3-2i|\leq 2$

1. 1. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.

   2. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous.

   3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.

   4. Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.

2. 1. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

   2. La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

   3. Interpréter géométriquement le résultat précédent.

3. On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.

   Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$

   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.

   2. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.

   3. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.

$(0 ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexes.

Pour la figure, on pendra pour unité 5 cm.

On considère la suite $(z_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} z_0=0\\ z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i) z_n-1+i \textrm{, pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.$

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point du plan complexe qui a pour affixe $z_n$

1. 1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$ , $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

   2. Placer, dans le plan complexe, les points $M_0$, $M_1$ , $M_2$, $M_3$ et $M_4$.

2. Voici une fonction Suite_1 écrite dans le langage Python.

from cmath import *
def Suite_1(n):
	z=0
	for i in range(1,n+1):
		z=(1+1j)/2*z-1+1j
	return z 

1. Saisir cette fonction et l'exécuter pour $n=1$, $n=2$, $n=3$ et $n=4$. Quels rsultats retrouve-t-on ainsi ?
Pour rappel :
On importe le module cmath pour travailler avec les nombres complexes. Les complexes se notent : 1+1j, 3j, -1+0j, ...
2. Utiliser cette fonction pour obtenir $z_5$ , $z_6$, $z_7$ et $z_8$.

3. Placer, dans le plan complexe, les points $M_5$, $M_6$ , $M_7$ et $M_8$.

3. $(Z_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $Z_n=z_n+2$.
1. Quel est le vecteur dont l'affixe est $Z_n$ ?
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $Z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i)Z_n$.

Ecrire l'expression de $Z_{n+1}$ et mettre $1+i$ en facteur.

3. Déterminer $Z_0$.
4. Ecrire en langage Python, une fonction Suite_2 qui, pour une valeur $n$ du paramètre renvoie le nombre complexe $Z_n$.
5. Saisir ce programme à l'aide de cette fonction, conjecturer une propriété des nombres $Z_{4k}$ et $Z_{4k+2}$, pour $k$ nombre entier naturel.

Exécuter ce programme pour des paramètres de la forme $4k$ et $4k+2$.

4. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_n=\dfrac{(1+i)^n}{2^{n-1}}$.
      En déduire l'exprerssion de $z_n$ en fonction de $n$.
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $(1+i)^{4k}$ est un nombre réel et $(1+i)^{4k+2}$ est un imaginaire pur.
      Que peut-on en déduire pour les points $M_{4k}$ et $M_{4k+2}$ ?
5. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|Z_n|=2\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$
   2. Quelle est la limite de la suite $(|Z_n|)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   3. Interpréter géométriquement ce résultat.