On considère un entier naturel \(n\geq 2\).
À l'aide du binôme de Newton, démontrer que :
\[\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n}\]En utilisant judicieusement le binôme de Newton, démontrer que :
\[\boxed{\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0}\]Défi : en déduire que :
\[\boxed{\sum_{\substack{0\leq k\leq n\\k\text{ pair}}}\binom{n}{k}=2^{n-1}}\]Autrement dit, la somme des coefficients binomiaux d'indices pairs vaut \(2^{n-1}\).
1. D'après le binôme de Newton :
\[(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.\]Or \((1+1)^n=2^n\), donc :
\[\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n}.\]2. On applique cette fois le binôme de Newton à \((1-1)^n\) :
\[(1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}(-1)^k.\]Comme \(n\geq 2\), on a \((1-1)^n=0\), donc :
\[\boxed{\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0}.\]3. On additionne les égalités obtenues aux questions 1 et 2 :
\[\sum_{k=0}^{n}\bigl(1+(-1)^k\bigr)\binom{n}{k}=2^n.\]Si \(k\) est impair, \(1+(-1)^k=0\). Si \(k\) est pair, \(1+(-1)^k=2\). Par conséquent :
\[2\sum_{\substack{0\leq k\leq n\\k\text{ pair}}}\binom{n}{k}=2^n.\]En divisant par 2 :
\[\boxed{\sum_{\substack{0\leq k\leq n\\k\text{ pair}}}\binom{n}{k}=2^{n-1}}.\]