On interroge une population pour savoir s'il compte voter aux élections régionales du 20 juin 2021. La probabilité qu'une personne déclare qu'elle votera à cette élection est de 0,49.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui déclare voter parmi 60 interrogées.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

   Code de déblocage :

2. Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement 29 déclarants voter.
3. Déterminer la probabilité qu'entre 25 et 35 personnes interrogées se déclarent votants à $10^{-3}$ près.

   Code de déblocage de la correction :

4. Déterminer la probabilité que moins de 25 des 60 personnes interrogées se déclarent votants.

   Code de déblocage de la correction :

5. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,65$ ?

   Code de déblocage de la correction :

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=x-2+10e^{-0,5x}.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.

   Code de déblocage de la correction :

3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$

   Code de déblocage de la correction :

4. Établir les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$

Code de déblocage de la correction :

5. Justifier que $f(x)$ est positive sur $[4;8]$.

   Code de déblocage de la correction :

6. Calculer $\int_{4}^{8}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

   Code de déblocage de la correction :

7. Interpréter graphiquement cette dernière intégrale.

   Code de déblocage de la correction :

On lance un dé à 20 faces et on considère comme succès le fait d'obtenir 15 et plus avec une problabilité de 0,25.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de suucèslors de 50 lancers du dé.

1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement 20 réussites à $10^{-3}$ près..
3. Déterminer la probabilité qu'entre 20 et 40 réussites à $10^{-3}$ près.
4. Déterminer la probabilité qu'il y ait moins de 25 réussites.
5. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,55$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;+\infty[$ par : $$f(x)=-5+xe^{-3x}.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer la limite en $-\infty$. Qu'en déduire?
3. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
4. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty;+\infty[$
6. Calculer $\int_{-2}^{2}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
7. Interpréter graphiquement cette dernière intégrale.
8. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[-2,2]$

80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,02192$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les personnes de ce groupe.

1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Quel est l'espérance et l'écart-type de $X$?
3. Déterminer la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique à $10^{-3}$ près.
4. Déterminer la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique à $10^{-3}$ près.
5. Déterminer la probabilité que moins de 5 personnes fassent sonner le portique à $10^{-3}$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;+\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)e^{x-2}+2.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer la limite en $-\infty$. Qu'en déduire?
3. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
4. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty;+\infty[$
6. Calculer $\int_{-3}^{3}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
7. Interpréter graphiquement cette dernière intégrale.
8. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[-3,3]$
9. L'unité graphique est de 3 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées. Donner la surface en $cm^2$ de l'aire calculer dans la question 6.