La distribution statistique suivante donne la répartition du nombre de jours sans accident, avec 1 accident, . . . , avec quatre accidents pour une période de 50 jours dans une ville.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{ Nombre d'accidents : }x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline \textrm{ Nombre de jours : } f_i & 21 & 18 & 7 & 3 & 1\\ \hline \end{array}$$

1. Calculer le nombre moyen ${\lambda}$ d'accidents par jour durant la période de 50 jours.
2. Ajuster la distribution précédente par une loi de poisson de paramètre ${\lambda}$
3. Calculer la probabilité pour qu'arrive 1 accident, 2, 3, 4 accidents.
4. Calculer le nombre théorique de jours Fi ou aura lieu aucun accident, un accident, . . . , quatre accidents.
5. Comparer le nombre théorique de jours Fi avec le nombre de jours observés $f_i$.
6. Combien y aura-t-il de jours sans aucun accident pendant une période de 365 jours ?

Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D'une statistique préalable, on déduit que la probabilité pour que ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l'expérience qui consiste à émettre n fois le rayon laser, les émissions étant deux à deux indépendantes et ayant même probabilité d'atteindre la cible. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X . Dans le cas où n = 300, calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de cette loi.
2. Pour une expérience avec un nombre n d'essais, $n\geq50$ , on admet qu'il est légitime d'approcher la loi de probabilité de X par une loi de poisson.
   1. Donner en fonction de n le paramètre ${\lambda}$ de cette loi de poisson.
   2. On estime que l'expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins 3 fois la cible. Donner les valeurs de X correspondant à l'événement{\textquotedbl} expérience non concluante , et exprimer la probabilité de cet événement en fonction de${\lambda}$.
   3. Soit $f$la fonction définie pour x positif ou nul par : $f(\lambda)=e^{-\lambda}(1+\lambda+\lambda^2/2)$. calculer $f(6,1)$, $f(6,2)$ et $f(6,3)$ donner un nombre $n_0$ d'essais à partir duquel la probabilité de l'événement expérience concluante est strictement supérieure à 0,95.