Loi de poisson

Définition

Loi de poisson

$\lambda$ est un réel strictement positif, on appelle loi de poisson de paramètre $\lambda$, notée $\mathcal{P}(\lambda)$, la loi de la variable aléatoire réelle définie sur $\N$ par : $$X(\Omega )= \mathbb{N}$$ $$P( X = k ) = e^{-\lambda }.\frac{\lambda ^{k}}{k!}$$ $$E(X) =\lambda \textrm{ et } \sigma_X = \sqrt{\lambda}.$$

La loi de Poisson se rencontre lorsque la réalisation d'un événement est rare sur un grand nombre d'observations. c'est le cas notamment dans les problèmes concernant les pannes de machines, les sinistres, la mortalité, . . .

Xcas

Loi de Poisson et Xcas

Lien entre loi binomiale et loi de Poisson

Approximation d'un loi binomiale par une loi de poisson

Si $n$ est grand , $p$ est voisin de 0 et $np$ pas trop grand alors on peut approximer la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda = np$.

Exercice

Une entreprise de construction métallique s'approvisionne régulièrement chez le même fournisseur en poutres IPN. 3% des poutres présentent un défaut A concernant les dimensions du profilé. 2% des poutres présentent un défaut B concernant la qualité de l'acier. La présence de ces deux défauts constitue des événements indépendants. Les poutres ne présentant ni le défaut A, ni le défaut B sont dites de premier choix, toutes les autres sont dites de second choix.

  1. Dans la suite du problème on admettra que la probabilité pour une poutre d'être du second choix est $p=0,05$. On prélève au hasard, avec remise, 30 poutres dans le stock de l'entreprise et on définit la variable aléatoire X qui associe à un tel prélèvement le nombre de poutres de second choix.
    1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
    2. $P(X = k)$ désigne la probabilité pour qu'il y ait k poutres de second choix, calculer $P(X = 0 )$, $P(X=1)$, $P(X = 2)$. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 28 poutres de premier choix ?
      3. ( on donnera la réponse à $10^{-2}$ près)
    3. On approche la loi de probabilité de X par une loi de poisson de paramètre $\lambda= 1,5$. Calculer en utilisant cette loi de poisson, $P(X = 0 )$, $P(X = 1)$, $P(X = 2)$, $P(X \geq28)$ et comparer ces résultats ? ceux de la question précédente.
  2. Déterminer l'espérance et l'écart-type de X.

Code de déblocage de la correction de l'exercice 1 :

Dans une usine de production de composants électroniques, la machine d'assemblage est censée produire en moyenne 3 composants par minute, suivant une distribution de Poisson. La direction de l'usine veut s'assurer que la machine fonctionne correctement et décide de surveiller la production.

  1. Quelle est la moyenne de la distribution de Poisson dans ce contexte?
  2. Quelle est l'écart-type de la distribution de Poisson?
  3. La direction de l'usine veut savoir quelle est la probabilité que la machine produise exactement 2 composants en une minute.
  4. Ils s'intéressent également à la probabilité que la machine produise moins de 2 composants en une minute.
  5. Quelle est la probabilité que la machine produise plus de 4 composants en une minute?

Evaluation

Code de déblocage de la correction de l'exercice 1 :

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