TP4 : Equation différentielle du premier ordre-cours

Dans ce tp , nous allons apprendre ce qu'est une équation différentielle et apprendre à en résoudre quelques unes.

Équation différentielle : définition et premiers exemples.

On appelle équation différentielle une relation entre la variable t(ou autre), une fonction f de variable t et certaines de ses dérivées.

L'équation : $f''-3f'+tf=5$ est une équation différentielle d'ordre 2 d'inconnue f.

L'équation : $y^{(3)}+xy'=sin(t)$ est une équation différentielle d'ordre 3 d'inconnue y.

On appelle solution d'une équation différentielle, sur un intervalle I de $\mathbb{R}$, toute fonction définie sur I vérifiant la relation définissant l'équation différentielle.

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I signifie déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle sur l'intervalle I.

Vérifier que la fonction $x\longmapsto e^x$ est une solution de l'équation différentielle $y'-y=0$ sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

Équation différentielle du premier ordre

Solution de l'équation homogène

Soient $a$ et $b$ deux réelles avec $a$ non nul.

Les solutions sur I de l'équation différentielle $a y' + b y = 0$,dite homogène (second membre égal à 0), sont les fonctions définies sur I par :

$$y(t)= k.e^{-\frac{b}{a}t}$$ où $k$ est une constante réelle.

Résoudre :

  1. (E1) $y'+2y=0$, $I =\mathbb{R}$
  2. (E2) $5y'-2 y=0$, $I = \mathbb{R}$

Code de déblocage de la correction :

Solution avec second membre non nul

$a$, $b$ deux réels avec $a$ non nul,et $c$ une fonction dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.

Les solutions sur I de l'équation différentielle $a y'(t) + b y(t) = c(t)$ sont les fonctions définies sur I par :$$y(t) = y_0(t) + y_p(t)$$ où $x_0$ est la solution de l'équation homogène associée($a y'(t) + b y(t) =0$) et $y_p$ est une solution particulière de l'équation différentielle.

Plan de résolution de $a y'(t) + b y(t) = c(t)$

  1. Résolution sur I de l'équation homogène $a y'(t) + b y(t) = 0$ associée. Détermination de $y_0$.
  2. Recherche/découverte d'une solution particulière,$y_p$ sur I à $a y'(t) + b y(t) = c(t)$. (on verra quelques techniques en exercices)
  3. Conclusion : la solution générale sur I de $a(t) x' + b(t) x = c(t)$ est $y_0(t) + y_p(t)$

Résoudre en appliquant le plan de résolution précédente l'équation :

(E3)$3y'+y=4x-3$, I = ]$-1;+\infty$[

On cherchera une solution particulière de la forme $x_p(x)=ax+b$

Code de déblocage de la correction :

Même exercice que précédement avec (E)$5y'-4y=2x-4$

Code de déblocage de la correction :

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre avec condition initiale

Vous vous en êtes surement rendu compte, il y a infinité de solution sur équation différentielle du premier ordre donnée.

Quand nous fixons des conditions à la solution cherchée (quantité de départ, point de départ, point à mi parcourt...) nous n'avons plus qu'une seule solution.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre admet une unique solution sur un intervalle I satisfaisant à \textbf{une condition initiale} donnée.

Reprendre (E3) et déterminer l'unique solution $g$ vérifiant $g(0)=0$.

Code de déblocage de la correction :

Reprendre (E4) et déterminer l'unique solution $g$ vérifiant $g(1)=1$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

Soit (E) l'équation : $3 y'-2y = 4x e^{2x}$.

  1. Déterminer la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation homogène associée à (E).
  2. Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax + b) e^{2x}$ soit une solution particulière de (E).
  3. En déduire l'ensemble des solutions de (E).
  4. Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $f(0) = \frac14$.

Code de déblocage de la correction :

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