Equation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre

Dans ce tp , nous allons apprendre ce qu'est une équation différentielle et apprendre à en résoudre quelques unes.

Équation différentielle : définition et premiers exemples.

On appelle équation caractéristique associée à l'équation différentielle homogène $ax''+bx'+cx=0$ l'équation du second degré $ar^2+ br + c = 0$.

Donner les équations caractéristiques des équations différentielles suivantes :

$y''+3y'+y=0$
$-4x''+x=0$

Notons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminent de l'équation caractéristique $ar^2+ br + c = 0$.

Si $\Delta>0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$$ où $r_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ sont les racines de l'équation caractéristiques et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.
Si $\Delta=0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto (\lambda t+\mu) e^{rt}$$ où $r=-\frac{b}{2a}$ est la solution de l'équation caractéristique et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.
Si $\Delta<0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto [\lambda \cos(\beta t)+\mu \sin(\beta t)] e^{\alpha t}$$ où $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$ sont les solutions de l'équation caractéristiques et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.

Résoudre

$y''-3y'+y=0$
$y''+y'-4y=0$
$y''-2y'+y=0$
$2y''-5y'+y=0$
$y''+2y'+y=0$

Soient a, b et c trois nombres réels tels que a soit non nul et u une fonction de la variable t définie sur un intervalle I.

Les solutions sur I de l'équation différentielle $ax'' + bx' + cx = u(t)$ sont les fonctions définies sur I par : $$x(t) = x_0(t) + x_p(t)$$ où $x_0$ est la solution générale de l'équation homogène associée et $x_p$ est une solution particulière de l'équation différentielle.

Plan de résolution

Résolution sur $\mathbb{R}$ de l'équation homogène $ax'' + bx' + cx = 0 $ associée .
Recherche d'une solution particulière sur I à $ax'' + bx' + cx = u(t)$.
Solution générale sur I de $ax'' + bx' + cx = u(t)$.

$x''+2x'-3x=e^{2t}$, $I =\mathbb{R}$

Résoudre de (on cherchera une solution particulière sous la forme $x_p(t) = A e^{2t}$)

$3y''-y'-y=e^{-3t}$, $I =\mathbb{R}$

Résoudre de (on cherchera une solution particulière sous la forme $x_p(t) = A e^{-3t}$)

$y''-4y=te^{2t}$, $I =\mathbb{R}$

Résoudre de (on cherchera une solution particulière sous la forme $y_p(t) = (at^2+bt) e^{2t}$)

Déterminer la solution g de l'équation différentielle (E6) vérifiant : $g(0)=\frac{1}{2}$ et $g'(0)=0$.

Soit (E) l'équation différentielle : $4y'' + 5 y' + y = 2 e^{-2x}(7x-11)$.

Résoudre l'équation sans second membre associée à (E).
Vérifier que la fonction g définie par $g(x) = 2x e^{-2x}$ est une solution de (E).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe passe par le point $A(0 ;-1)$ et $f'(0)=0$.

Soit (E) l'équation différentielle : $y'' - y' - y = 2 e^{-x}(x-1)$.

Résoudre l'équation sans second membre associée à (E).
Chercher $a$ et $b$ tel que la fonction g définie par $g(x) = (ax+b) e^{-x}$ soit une solution de (E).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe passe par le point $A(0 ;1)$ et $f'(0)=1$.

Soit (E) l'équation différentielle : $y'' + 2y' -3 y = 2 e^{-x}(x+1)$.

Résoudre l'équation sans second membre associée à (E).
Chercher $a$ et $b$ tel que la fonction g définie par $g(x) = (ax+b) e^{-x}$ soit une solution de (E).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Déterminer la solution particulière f de (E) vérifiant $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.

Evaluations

Evaluation 1 : "Type Exercice 2"

Evaluation 2 : Finale

Evaluation 3

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