Introduction

George Boole (1815-1864) est un logicien, mathématicien, philosophe britannique. Il est le créateur de la logique moderne, fondée sur une structure algébrique et sémantique, que l’on appelle aujourd’hui algèbre de Boole.

Notons B l’ensemble {0; 1} que nous appellerons ici ensemble des booléens

Nous allons dans ce chapitre manipuler quelques opérateurs booléens, c’est à dire des fonctions d’une ou plusieurs variables dans B et à valeurs dans B.

Nous commençons par définir les opérateurs de base et, ou, non. Le nom de ces opérateurs vient de la convention d’associer 0 à “faux” et 1 à “vrai”.

Les variables python de type booléen peuvent prendre deux valeurs : False, True.

Les opérateurs de base

L'opérateur non (not) : la négation

L'opérateur de négation, noté ~ ou ¬ - qui se lit non, est une fonction définie sur B et à valeurs dans B définie par ¬ 0=1 et ¬ 1=0

On représentera souvent la définition d’un opérateur booléen par sa table de vérité qui est plus simplement le tableau de valeurs de cet opérateur :

x ¬ x
0 1
1 0

L'opérateur de négation transforme donc 0 en 1 et 1 en 0 ou encore faux en vrai et vrai en faux.

Ecrire une fonciton Python qui affiche la table précédente. Le 0 sera représenté en python par False et le 1 par True .

utiliser la fonction not de Python

L'appel de la fonction se fera ainsi :

la réponse attendue est :

Ecrire la fonction non(a) en Python où le paramètre a peut prendre comme argument 0 et 1 et qui renvoie non(a).

Tester la fonction ainsi :

vous devriez observer :

Faites un affichage de sa table de vérité. à l'aide de la fonction non est d'une boucle for.

L'objectif est d'avoir :

L'opérateur et (and) : la conjonction

L'opérateur de conjonction, noté & ou . qui se lit et, est une fonction définie sur B² et à valeurs dans B

Cet opérateur est défini par l'équivalence :

x & y = 1 si et seulement si x et y valent tous deux 1.

  1. Etablir la table de vérité de l'opérateur &
  2. Ecrire une fonction Python table_conjonction() qui affiche la table précédente. Le 0 sera représenté en python par False et le 1 par True . Utiliser &

    3. l'appel de la fonction :

    le résultat attendu

  3. Ecrire le script de la fonction conjontion(x,y) en Python où les paramètres x,y peuvent prendre comme arguments 0 et 1 et qui renvoie x&y.

    4. les appels de la fonction :

    le résultat attendu

    Faites un affichage de sa table de vérité. à l'aide de la fonction conjonction() est d'une boucle for.

    L'objectif est d'avoir :

L'opérateur ou (or) : la disjonction

L'opérateur de disjonction , noté | ou + qui se lit ou, est une fonction définie sur B² et à valeurs dans B.

Cet opérateur est défini par l’équivalence :

x | y=1 si et seulement si au moins l’une des deux variables x, y est égale à 1.

On rappelle que le « ou » utilisé en logique est un ou inclusif.

  1. Etablir la table de vérité de l'opérateur de disjonction
  2. Ecrire une fonction Python table_disjonction() qui affiche la table précédente. Le 0 sera représenté en python par False et le 1 par True . Utiliser or

    3. l'appel de la fonction :

    le résultat attendu

  3. Ecrire le script de la fonction disjontion(x,y) en Python où les paramètres x,y peuvent prendre comme arguments 0 et 1 et qui renvoie x&y.

    4. les appels de la fonction :

    le résultat attendu

    Faites un affichage de sa table de vérité. à l'aide de la fonction conjonction() est d'une boucle for.

    L'objectif est d'avoir :

Le ou exclusif (xor)

L'opérateur xor, ou exclusif, noté ^ est une fonction définie sur B² et à valeurs dans B

Cet opérateur est défini par l’équivalence :

x ^ y =1 si et seulement si exactement une des deux variables x, y est égale à 1.
Ou encore : x^y=1 si et seulement si x≠y.

Vérifier que x ^ y =( x & ~y ) | (~x & y )

  1. Etablir la table de vérité de l'opérateur xor
  2. Ecrire une fonction Python table_xor() qui affiche la table précédente. Le 0 sera représenté en python par False et le 1 par True . Utiliser ^

    3. l'appel de la fonction :

    le résultat attendu

  3. Ecrire la fonction xor(x,y) en python où les paramètres x,y peuvent prendre comme arguments 0 et 1 et qui renvoie x^y.

    4. les appels de la fonction :

    le résultat attendu

  4. Tester cette fonction en affichant la table de vérité en python

    5. L'objectif est d'avoir :

Une application : les masques de sous-réseau

Dans un réseau TCP/IP, un ordinateur a une adresse IP qui l’identifie de manière unique (comme un numéro de téléphone), ainsi qu’un masque de sous-réseau.
L’adresse IP et le masque de sous-réseau sont des groupes de 4 entiers positifs, codés tous les deux sur 4 octets.
Le masque identifie à quel sous réseau d’Internet il fait partie, et permet d’obtenir l’adresse IP du sous-réseau à l’aide d’une opération booléenne.

Un ordinateur a pour IP 192.168.0.42, et son masque de sous-réseau est 255.255.255.0.
Pour obtenir l’adresse du sous-réseau de l’ordinateur, on effectue alors un AND entre les octets de l’IP et les octets du masque. En représentation binaire, cela donne :

IP : 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
Masque : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
AND
adresse de sous-réseau 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sur un processeur 32 bits, le AND est une opération primitive du processeur, donc l’opération de détermination du sous-masque réseau se fait en une instruction.

Chercher l'adresse IP de votre ordinateur et de son masque sous-réseau. Sous windows, il faut taper la commande ipconfig. Sous linux, il faut taper la commande ifconfig

Chercher l'adresse IP de votre téléphone portable. Vous pouvez vous aider de la fiche : Adresse IP

Ecrire l'adresse des sous-réseaux que vous avez trouvés.

Exercices

On considère la fonction multiplexeur, notée mux
mux(x,y,z)=((~x) & y) | (x & z)
Complétez la table suivante:
x y z ~x (~x) & y x & z mux(x,y,z)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
x et y sont deux valeurs booléennes.
1- Dans quel(s) cas l’expression booléenne « x & (~y) » est-elle vraie ?
2- Et pour l’expression « (~x) & (~y) » ?
a, b et c sont trois valeurs booléennes.
1- Dans quel(s) cas l’expression booléenne « a | (b & c) » est-elle vraie ?
2- Même question avec l’expression « a | (b & (~c)) » ?
Est-il correct d’affirmer que ~(x & y) est identique à (~x) | (~y) (conseil : faites une table de vérité).
1- Montrer que ( x & y) = ~((~x) | (~y))
2- Montrer que (x | y) = ~((~x) & (~y))
Trouver l’expression de la fonction ssi (x,y) à l’aide des opérateurs booléens.
x y ssi(x,y)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Quelques corrections

Vous pouvez télécharger quelques corrections : ici

  1. Dresser la table d'une expression booléenne
  2. Réaliser quelques applications directes
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NSI de Auteurs : Jean-Christophe Gérard, Thomas Lourdet, Johan Monteillet, Pascal Thérèse est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International.