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  1. définir une fonciton continue
  2. Le TVI et son corollaire
  1. la détermination de l'ensemble sur lequel une fonciton est continue
  2. le repérage des cas d'applications du corollaire du TVI
  3. le lien entre corollaire du TVI et les solutions d'une équaiton.

Notion de continuité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.

On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en $a$ quelque soit la valeur de $a$ dans I.

Autrement dit, $f$ est continue sur $I$ si la courbe représentative de $f$ se trace sans lever le crayon.

Continuité des fonctions usuelles

Donner pour chaque fonction l'ensemble sur lequel elles sont continues.

  1. $f_1: x \longmapsto x^2-5x+1$
  2. $f_2: x \longmapsto \sqrt{1+x}$
  3. $f_3: x \longmapsto \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{|x|+2}}$

Théorème des valeurs intermédiaires

T.V.I.

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de $[a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Autrement dit l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $[a;b]$.

Montrer que l'équation $2x^3+3x^2-2x=2$ admet au moins une solution sur $[-2;1]$

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Autrement dit, l'équation $f(x)=k$ a une unique solution sur $[a;b]$

Existence :

La fonction $f$ est continue sur $[a;b]$. D'après le T.V.I., pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $c\in[a;b]$.

Unicité : Supposons qu'il existe au moins deux solutions $c$ et $c'$ à $f(x)=k$.

1er cas :$c<c'$ alors la strictement croissance de $f$ impose $f(c)<f(c')$ c'est à dire $k<k$

2ième cas : $c'<c$ alors la strictement croissance de $f$ impose $f(c')<f(c)$ c'est à dire $k<k$</p>

Les deux cas donne une conclusion erronée ce qui contredit l'existence de $c'$ et assure l'unicité de $c$.

Montrer que l'équation $x^3+x=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;1]$.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Exercices

Montrer que chaque équation admet une unique solution sur $I$ et donné un encadrement de la solution à $10^{-2}$ près.

  1. $x^3+x^2=5$ et $I=[1;2]$
  2. $\sqrt{1+2x}=x$ et $I=[0;5]$
  3. $\frac{x-1}{1+x^2}=x$ et $I=\mathbb{R}$

Vrai ou Faux

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

  1. Si $f$ change de signe sur $I$, alors $f$ s'annule sur $I$.
  2. Si $I=[a;b]$, $f(a)f(b)>0$ et $f$ continue sur $I$, alors $f$ ne s'annule pas sur $I$.
  3. Si $f$ s'annule une seule fois sur $I$ et $f$ continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$.

QCM

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[-2;3]$ telle que $f(-2)=0$ et $f(3)=7$.

  1. Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$ sur $[-2;3]$ est :
    1. zéro
    2. une exactement
    3. au moins une
    4. on ne peut pas savoir
  2. Même question avec l'équation $f(x)=10$ :
    1. zéro
    2. une exactement
    3. au moins une
    4. on ne peut pas savoir
  3. On suppose de plus que $f$ est strictement croissante . Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$ sur $[-2;3]$ est :
    1. zéro
    2. une exactement
    3. au moins une
    4. on ne peut pas savoir
  4. Même question avec l'équation $f(x)=10$ :
    1. zéro
    2. une exactement
    3. au moins une
    4. on ne peut pas savoir
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Maths et Informatique à Saint Dizier de Thomas Lourdet et de Pascal Thérèse enseignants au lycée Blaise Pascal de Saint Dizier (52) est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International.