Déterminer les limites suivantes :

1. $\lim\limits_{n\to +\infty} n^4-3n^3-5$
2. $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{-n^2+2}{3+2n^2}$
3. $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{-n+2}{3-n^2}$
4. $\lim\limits_{n\to +\infty} 5-(\frac12)^n$
5. $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{3^n-1}{1-2^n}$
6. $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{5(-1)^n+2}{n^2}$

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\frac12$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$u_{n+1}=\frac{u_n+1}{u_n+2}.$$

Montrer avec deux méthodes différentes(avec et sans étude de fonctions) que $0<u_n<1$

Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=1$ , $ u_1=2$ et, pour tout $ n\in{\rm I\kern-.1567em N}$ , $ u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ .

1. Calculer $ u_2$ , $ u_3$ et $ u_4$
2. Démontrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n=2^n$