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  1. définir une épreuve de bernoulli
  2. définir un schéma de bernoulli
  3. les formules liées à une loi binomiales( espérance et écart-type compris)
  1. la justification qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
  2. utilisaer la calculatrice pour effecture des calculs de probabilités avec les lois binomiales
  3. la détermination d'un paramètre selon certaines contraintes.

Le cours

Premières définitions

Epreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ toute expérience aléatoire ayant exactement deux issues possibles, qu'on appelle généralement, pour l'une, succès notée $S$, et, pour l'autre, échec, notée $\overline{S}$, et telle que $p(S)=p$.

Shéma de Bernoulli

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ la répétition à $n$ reprises, de façon indépendante, d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Coefficient binomiaux

Coefficients binomiaux

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

Pour tout entier $0\leq k \leq n$, on appelle coefficient binomial, noté $\binom{n}{k}$, le nombre de chemins du schéma de Bernoulli menant à $k$ succès.

Par convention $\binom{0}{0}=1$

Pour tout entier $k$ et $n$ tels que : $0\leq k \leq n$

  1. $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$
  2. $\binom{n}{1}=n$
  3. $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
  4. $\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$

Loi binomiale

Loi binomiale

Soit un schéma de bernouilli de paramètre $n$ et $p$

Soit $X$ la variable aléatoire dont une réalisation est le nombre de succés observé pendant l'éxecution du schéma.

On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$, on note cette loi $B(n,p)$

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $B(n,p)$.

Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k\leq n$

  1. $p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
  2. $p(X\leq k)=1-p(X>k)$
  3. $p(X\geq k)=1-p(X< k)$.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $B(n,p)$.

  1. $EX=np$
  2. $VX=np(1-p)
  3. $\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}$

Calculatrice

La calculatrice permet de calculer dans le cas où $X$ suit une loi $B(n,p)$ les valeurs de $P(X=k)$ et $P(X\leq k)$

Soit $X$ une variable aléatoire de paramètres 120 et $\frac18$.

    Calxuler
  1. $P(X=0)$
  2. $P(X=3)$
  3. $P(X=130)$
  4. $P(X\leq 50)$
  5. $P(X< 50)$
  6. $P(X\geq 50)$
  7. $P(X>50)$

Exercices

Les expériences aléatoires suivantes sont-elles des épreuves de Bernoulli ? Si oui préciser leur paramètre.

Une entreprise fabrique chaque jour 10000 composants électroniques. Chaque composant présente un défaut avec la probabilité de 0,002. Si le composant est repéré comme étant défectueux, il est détruit par l'entreprise, et chaque composant détruit fait perdre 1 euro à l'entreprise.

Les composants sont contrôlés un à un, et chaque contrôle coûte 0,1 euro. Quel est le coût moyen journalier pour l'entreprise (contrôes et destruction des composants défectueux) ?

En France, il y a environ 12$\%$ de gauchers. On considère une classe de 30 élèves, et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans cette classe.

  1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Préciser ses paramètres.
  2. Combien d'élèves gauchers peut-on s'attendre à trouver dans la classe ?
  3. Déterminer la probabilité qu'il y ait un seul gaucher dans la classe.
  4. Calculer la probabilité qu'il y ait 2 gauchers ou plus dans la classe.

Une machine produit des pièces dont, en moyenne, 5 $\%$ sont défectueuses.

On prépare des lots en prélevant au hasard 10 pièces dans la production.

Le nombre de pièces dans le stock est assez important pour que l'on puisse considérer le tirage comme étant avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses sur nos 10 pièces prélevées.

  1. Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer les probabilités des événements: $"X=0"$, $"X=1"$, $X=2$, et $"X\geqslant 3"$.

Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent que chaque adhérent assiste à l'assemblée avec la probabilité de 80$\%$. Les décisions prises par l'assemble n'ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l'assembl\'ee.

Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?

A chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.

Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99, il atteigne la cible au moins deux fois ? Au moins trois fois ?

Un texte contient $n$ erreurs. Lors d'une relecture, on considère que chaque erreur a 80$\%$ de chances d'être corrigée.

Peut-on prévoir, en moyenne, le nombre d'erreurs restantes après une relecture, après $k$ relectures, $k$ étant un entier supérieur à 1 ?

Licence Creative Commons
Maths et Informatique à Saint Dizier de Thomas Lourdet et de Pascal Thérèse enseignants au lycée Blaise Pascal de Saint Dizier (52) est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International.