Demander le programme !
- définir d'une suite, bornée, minorée et majorée.
- définir une suite croissante/décroissante/monotone.
- donner un exemple de fonction ni croissante, ni décroissante.
- les limites de références ($n^p$, $\frac{1}{n^p}$, $\sqrt{n}$).
- les règles algébriques qui s'appliquent aux calculs de limites.
- l'énoncé du théorème des gendarmes.
- l'énoncé du théorème de convergence monotone.
- l'énoncé du théorème qui permet de calculer des limites à partir de comparaison.
- le théorème concernant les limite d'une suite du type $q^n$.
- les propriétés des suites arithmétiques et géométriques.(définition, expression explicite, variation,somme )
- la rédaction d'une récurrence(les différentes étapes avec leurs rédaction précises.
- une récurrence pour démontrer une égalité avec un signe somme.
- une récurrence pour démontrer une égalité avec des règles algébriques sur des inégalités
- une récurrence pour démontrer une égalité avec une étude de fonction préalable.
- une récurrence pour démontrer qu'une suite et croissante ou décroissante.
- l'étude des variations d'une suite
- la détermination de limites de suites en s'appuyant sur les règles de calculs algébriques
- la détermination de limite en s'appuyant sur le théorème des gendarmes.
- la détermination de limite en s'appuyant sur le théorème de convergences monotones.
- la détermination de limite en s'appuyant sur le théorème de comparaison.
- l'obtention d'un tableau de valeur avec sa calculatrice.
- conjecturer la limite ou les variations d'une suite à partir de la calculatrice.
- un algorithme de type seuil en pseudo code et langage calculatrice.
- la détermination d'ne limite dans le cas où "$f(l)=l"$.
Démonstration par récurrence
Le principe de récurrence est une méthode de démonstration qui s'applique à un résultat mathématiques dépendant d'un entier naturel, souvent $n$.
Il permet de démontrer un résultat en montrant qu'il est vraie pour une certaine valeur ( souvent 0 ou 1) et qu'il est héréditaire.
Un résultat $P(n)$ est héréditaire si : $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Concrétement on supposera que P(n) est vraie et on démontrera alors que $P(n+1)$ l'est également.
Principe
La propriété suivante donne la rédaction type d'une récurrence.
| Principe | Exemple | |
|---|---|---|
| Etape 1 : Annonce du résultat à démontrer | Définir la proposition de récurrence $P(n)$ en précisant l'ensemble sur lequel la propriété doit être vraie, ici I. | Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P(n)$: le $n$-ième domino tombe. |
| Etape 2 :Initialisation | On doit montrer que la propriété $P(n)$ est vraie pour le plus petit entier $n$ annoncé précédement | On observe que le premier domino tombe. |
| Etape 3 : Etape de récurrence ou Hérédité | Soit $n\in I$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons $P(n+1)$. C'est dasn cette étape que vous rencontrerez le plus de difficultés. | Soit $k\in\mathbb{N}$, supposons que le $k$-ième domino tombe. Montrons que le $k+1$-ième tombe. |
| Etape 4 : Conclusion | D'après le principe de récurrence, la proposition $P(n)$ est vraie pour tout $n\in I$ | Tous les dominos tombent. |
Exemples
Soit $u$ une suite définie par $u_2=3$ et $u_{n+1}=2u_n$, pour tout entier $n\geq 2$.
Démontrer que, pour tout $n\geq2$, $u_n=3\times2^{n-2}$.
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $$\sum_{k=1}^{k=n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}$.
Montrer que pour tout $n\geq1$, $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq u_n\leq 1$.
Pour tout entier $n\ge 1$, la fonction $f_n$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f_n'(x)=nx^{n-1}$.
La récurrence de l'exemple suivant est visiblement fausse. Trouvez l'erreur !
Voici une proposition pour tout $n~\in~\mathbb{N}^*$, $P(n)$ : $2^n$ est un multiple de 3 .
\'Etape de récurrence : on suppose pour un $k$ entier, $P(k)$ vraie. Qu'en est-il de $P(k+1)$ ?
$P(k)$ est vraie donc il existe $p~\in~\mathbb{Z}$ tq $2^k=3p$.
Ainsi $2^{k+1}=2\times 3p=3(2p)$ : 3 divise $2^{k+1}$.
Donc $P(k+1)$ est vraie.
Par le principe de récurrence, pour tout $n$ entier, $2^n$ est divisible par 3.
Comportement global de suites.
Dans la suite $n_0$ désigne un entier naturel.
Suite majorée, minorée
Soit $(u_n)_{n\ge n_0}$ une suite de nombres réels et $M$ un réel.
On dit que $(u_n)_{n\ge n_0}$ est une suite majorée si pour tout $n\ge n_0$, $u_n\le M$.
$M$ est alors appelé majorant de la suite.
Soit $(u_n)_{n\ge n_0}$ une suite de nombres réels et $m$ un réel.
On dit que $(u_n)_{n\ge n_0}$ est une suite minorée si pour tout $n\ge n_0$, $u_n\ge m$.
$m$ est alors appelé minorant de la suite.
Montrer que la suite définie pour $n\in \mathbb{N}^*$ par : $\left\{\begin{array}{l}u_1=5\\u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \end{array}\right.$ est minorée.
Soit $(u_n)_{n\ge n_0}$ une suite de nombres réels.
Soit $(u_n)_{n\ge n_0}$ une suite de nombres réels.\\ On dit que $(u_n)_{n\ge n_0}$ est une suite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n=\frac{(-1)^n+2}n$.
Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ est bornée.
Sens de variations
On dit que la suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ est croissantesi pour tout $n\ge n_0$, $u_n\le u_{n+1}$.
Montrer que la suite définie pour tout $n\ge1$ par $u_n=n^2-2n+3$ est croissante.
On dit que la suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ est décroissante> si pour tout $n\ge n_0$, $u_n\ge u_{n+1}$.
Montrer que la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=\frac1{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ est décroissante.
Il existe des suites qui ne sont ni croissante, ni décroissante. Comme le montre l'exemple suivant :
Montrer que la suite $((-1)^n)_{n\in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante, ni décroissante.
Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
Limite d'une suite
Les études de limite de suite ne se font que lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Défintions
Limite finie
On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite le réel $L$, si tout intervalle contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit alors que la suite $(u_n)$ est convergente.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$.
Observer à l'aide de la calculatrice et de l'algorithme suivant la convergence de u.
- $u \leftarrow \frac12$
- Pour $n$ allant de 0 à 300
- $\hspace{0.5cm}$ $u\leftarrow \frac{2n+1}{n+2}$
- $\hspace{0.5cm}$ Fin
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Limite infinie
On dit que la suite $(u_n)$ admet comme limite $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A;+\infty[$ (resp. $]-\infty;A[$) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Propriétés des limites
Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique>.
Non exigible
Procédons à un raisonnement par l'absurde...
On suppose que la suite $(u_n)$ converge vers $L$ et $l$ avec $L\leq l$.
D'après la définition de convergence des suites, pour tout intervalle de la forme $]a;b[$ contenant $L$, tous les termes de la suite y sont contenus à partir d'un certain rang.
Prenons par exemple l'intervalle ... $I_1=]L-\frac{|L-l|}2;L+\frac{|L-l|}2[$. $L\in I_1$ donc il existe $n_1\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_1$, $u_n\in I_1$.
De même si on considère l'intervalle $I_2=]l-\frac{|L-l|}2;l+\frac{|L-l|}2[$. $l\in I_1$ donc il existe $n_2\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_2$, $u_n\in I_2$.
Soit $n_0=n_1+n_2$.
Alors pour tout $n\ge n_0$, $u_n\in I_1$ et $u_n\in I_2$...sauf que $I_1\cap I_2=\emptyset$ car $L\leq l$!
CONTRADICTION !!!
Donc lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.
Une suite qui est convergente est bornée.
Non exigible
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $L$. Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a\le L\le b$.
D'après la définition de convergence, il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_0$, $u_n\in ]a;b[$.
De plus l'ensemble $\{u_0,u_1,....,u_{n_0}\}$ est un ensemble fini donc admet un minimum et un maximum respectivement $c$ et $d$.
Alors si $m=min(a,c)$ et $M=max(b,d)$ alors pour tout $n$, $m\le u_n\le M$.\\ La suite $(u_n)$ est donc bornée.
Limites de référence
- $\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty$
- Soit p un entier naturel non nul, $\lim\limits_{n\to +\infty} n^p=+\infty$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac1{n}=0$
- Soit p un entier naturel non nul, $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1}{n^p}=0$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
Opération sur les limites
Somme de limite
$\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|} \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n= &\ell &\ell & \ell & +\infty & -\infty & -\infty \\ \hline et \lim\limits_{n\to +\infty} v_n= & \ell' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty \\ \hline alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n+v_n= & \ell+\ell' & +\infty & -\infty& +\infty & -\infty & F.I. \\ \hline \end{array}$
F.I. est l'acronyme de forme indéterminée. Cela signifie qu'on est pas capable de donner la limite avec ce tableau.
Produit par un réel $k$ NON NUL
$\begin{array}{|l||c|c|} \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n= & \ell & \infty \\ \hline alors \lim\limits_{n\to +\infty} k u_n= & k\ell & \infty \\ \hline \end{array}$Le signe de $k$ peut éventuellent changer le signe de $\infty$.
Produit
$\begin{array}{|l||c|c|c|c|} \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n= & \ell & \ell & 0 \\ \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} v_n= & \ell' & \infty & \infty \\ \hline alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n\times v_n= & \ell\ell' & \infty & F.I \\ \hline \end{array}$Le signe de $\ell$ peut éventuellent changer le signe de $\infty$.
Inverse
$\begin{array}{|l||c|c|c|} \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n= & \ell\neq 0 & 0 & \infty \\ \hline alors \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1}{u_n}= & \frac{1}{\ell} & \infty & 0 \\ \hline \end{array}$Quotient
$\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|} \hline si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n= & \ell & \ell\neq 0 & \ell & \infty & 0 & \infty \\ \hline et \lim\limits_{n\to +\infty} v_n= & \ell'\neq 0 & 0 & \infty & \ell & 0 & \infty \\ \hline alors \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}= & \dfrac{\ell}{\ell'} & \infty & 0 & \infty & F.I. & F.I. \\ \hline \end{array}$Donner des exemples pour illustrer les différentes F.I.
Limites sans forme indéterminée :
- $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+n^2+6n^6=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac1{1-n^2}=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{1+n^2+6n^6}=$
Lever l'indétermination dans le cas $\infty - \infty$ : Il faut factoriser par le terme de plus haut degré.
- $\lim\limits_{n\to +\infty} n^2-2n-3=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} -3n^3+3n^2-n-1=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} 3n-\sqrt{n}=$
Lever l'indétermination dans le cas $\frac{\infty}{\infty}$
Ilfaut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis simplifier.
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{2+n}{1-n}=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n^2-n+3}{n^2+3n+5}=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{2+n}{n^3}=$
Le cas particuler des radicaux : La quantité conjugué !
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n^2+1}-n=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} 3n-\sqrt{9n^2+1}=$
Limites et comparaison
$u$ et $v$ sont deux suites. Si pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain rang ( =entier naturel) $n_0$ alors si :
- $u_n\leq v_n$ et $\lim_{n\to +\infty} u_n =+\infty$, alors $\lim_{n\to +\infty} v_n =+\infty$.
- $u_n\leq v_n$ et $\lim_{n\to +\infty} v_n =-\infty$, alors $\lim_{n\to +\infty} u_n =-\infty$.
Exigible
-
Soit A un réel,par hypothèse sur u, il existe un rang $p$ à partir duquel tous les termes de u se trouve dans l'intervalle $]A; +\infty[$.
On sait qu'à partir d'un certain rang $r$ , $u_n\leq v_n$. Alors pour tous les entiers au dessus de $p$ et de $r$ on assure que à la fois $u_n\leq v_n$ et $A<u_n$ ce qui donne $A>v_n$
- Démonstration analogue : la faire et la faire corriger par votre professeur.
Limite d'une suite géométrique
- Si $q>1$, alors $\lim\limits_{n\to +\infty} q^n=+\infty$.
- Si $-1<q<1$, alors $\lim\limits_{n\to +\infty} q^n=0$.
- Si $q\leq -1$, alors $q^n$ n'a pas de limite.
Exigible
1er cas : $q>1$
- Le nombre q est strictement supérieur à 1, c'est que l'on peut l'écrire 1+a avec a strictement positif.
-
Démontrons par récurrence $P(n)$ : $q^n\geq 1+na$, $n\in\mathbb{N}$ .
Initialisation : $q^0=1\geq 1+0\times a$
$q^n\geq 1+na$ et $q>0$ donc $q^n\times q \geq (1+na)\times q$ donc $q^{n+1}\geq (1+na)(1+a)$.
Or $(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq 1+(n+1)a$ car $na^2\geq 0$.
Ainsi $q^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ et $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : On a démontré que pour tout $n\in\mathbb{N}$,$q^n\geq 1+na$.
- $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+na=+\infty$ donc le théorème de comparaison permet de conclure.
2ième cas : $-1<q<1$
$-1<q<1$ si et seulement si $0<|q|<1$ si et seulement si $\frac{1}{|q|}>1$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} (\frac{1}{|q|})^n=+\infty$ ce qui donne $\lim\limits_{n\to +\infty} (|q|)^n=0$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} -2 \times3^n=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} 10 \times(\frac45)^n=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \pi \times(-0.5)^n=$
- $\lim\limits_{n\to +\infty} \times(-2)^n=$
Que fait l'algorithme de type seuil suivant :
- $u \leftarrow 1$
- $n \leftarrow 0$
- Tant que (u>0.001) faire
- $\hspace{0.5cm}$ $u\leftarrow u*0.99$
- $\hspace{0.5cm}$ $n\leftarrow n+1$
- $\hspace{0.5cm}$Fin
A quoi correspond les valeurs de n et de u à la fin de l'algorithme?
Le théorème des gendarmes
Le théorème des gendarmes
u, v et w sont trois suites.
Si pour tout entier naturel n supérieur à un certain rang , $v_n\leq u_n \leq w_n$ et si les suites v et w convergent toutes deux vers $l$ alors u converge également vers l.
Non Exigible
$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{(-1)^n}{n}=$
Théorème de convergence des suites monotones
- Toute suite croissante majorée est convergente.
- Toute suite décroissante minorée est convergente.
Exercices
Raisonner par récurrence
Démontrez que pour tout entier $n\geq1$, $1\times2+2\times3+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
Démontrez que pour tout entier $n\geq1$, $1+2\times2! + 3\times3!+...+n\times n!=(n+1)!-1$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel n; $$u_{n+1}=u_n+2n+1.$$ Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n\geq n^2$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel n, $$u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}.$$ Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, $0<u_n<2$.
Aide : Vous pouvez utiliser les variations de la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq 2$, $$5^n\geq 4^n+3^n.$$
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0\in]0;1[$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.\\ Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, $0<u_n<1$
Limites de suites
Étudier, dans chaque cas, la limite éventuelle.
- $u_n=n^2-3n$
- $u_n=n\sqrt{n}-n^2$
- $u_n=3^n-2^n$
- $u_n=\frac{5^n-1}{4^n+3}$
- $u_n=\frac{2n+3}{3n-1}$
- $u_n=\frac{5n-3}{3n-5}$
- $u_n=\frac{2n+3}{3n^3-1}$
- $u_n=\frac{5+\cos(n)}{n}$
- $u_n=\frac{2+5(-1)^n}{n}$
- $u_n=\frac{10n-1}{n^2+1}$
- $u_n=\frac{2n^2-1}{3n+7}$
Etudier le comportement à l'infini des suites u, v et w définies pour tout entier naturel n non nul par :$$u_n=\frac{3n^2-4}{n+1}, v_n=\frac{u_n}{n},\textrm{ et } w_n=u_n-3n.$$
Calculez la limite éventuelle des suites $u$, $v$, $u+v$, $u\times v$ et $\frac{u}{v}$ avec $u_n=\frac{2n}{n+\sqrt{n}}$ et $v_n=\frac{3n+5}{n+2}$
Déterminez, si elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ proposée.
- $u_n=\sqrt{2n^2-5}$
- $u_n=\sqrt{4n^2-5}-2n$
- $u_n=\sqrt{2n^2-5}-2n$
- $u_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$
- $u_n=\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}$
Déterminez, si elle existe, la limite lorsque n tend vers $+\infty$ des sommes suivantes :
- $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{3^k}$
- $S_n=0,6+0,6^2+...+0,6^n$
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n\geq 4$, par : $$u_n=1+\frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{3}}+...+\frac1{\sqrt{n}}$$
- Justifiez que pour tout entier k, $0$ < $k\leq n$, $\frac1{\sqrt{k}}\geq \frac1{\sqrt{n}}$, puis que pour tout entier $n\geq 4$, $$u_n\geq\sqrt{n}.$$
- Précisez alors le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
Synthèse
-
La suite $(u_n)$ est croissante .
Les propositions suivantes permettent-elles d'affirmer que la suite $(u_n)$ est convergente?
Justifiez votre réponse. Si la réponse est négative, proposez un contre-exemple.
- Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M$
- Pour tout réel M, il existe un entier naturel n tel que $u_n\geq M$
-
Les propositions suivantes permettent-elles d'affirmer que la suite $(v_n)$ a pour limite $+\infty$?
Justifiez votre réponse. Si la réponse est négative, proposez un contre-exemple.
- Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, $v_n\geq M$.
- Pour tout réel M, il existe un entier naturel $n$ tel que pour tout entier $m>n, v_m\geq M$
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
- Démontrez que pour tout entier naturel n, $0\leq u_n\leq 2$.
- Prouvez que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
- Quel est le comportement de la suite en $+\infty$? Justifiez votre réponse.
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel n non nul par $u_n=\frac{n!}{n^n}$ où $n!=1\times 2 \times 3 \times...\times n$.
- Justifiez que pour tout entier naturel non nul $n$, $$0<u_n<\frac1{n}.$$.
- Quel est le comportement en $+\infty$ de la suite $(u_n)$?
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont définies pour tout entier naturel $n\geq 1$, par $u_n=\frac1{\sqrt{n^2+1}}$ et $v_n=\frac1{n}$.
- Prouvez que 1 est un majorant de la suite $(u_n)$.
- Prouvez que pour tout entier naturel $n\geq 1$, $u_n<v_n$.
- De ces deux renseignements, lequel permet de déterminer le comportement de la suite $(u_n)$ en $+\infty$?
On considère l'algorithme suivant :
- $u \leftarrow 1$
- Pour $i$ allant de 1 à $n$
- $\hspace{0.5cm}$ afficher($u$)
- $\hspace{0.5cm}$ $u \leftarrow 2+\frac{u}{3}$
- $\hspace{0.5cm}$ Fin
- Précisez l'objectif de cet algorithme.
- Utilisez cet algorithme pour programmer votre calculatrice.
- Que pouvez-vous conjecturer pour de grandes valeurs de l'entier $n$?
- Comment se traduit le remplacement de la ligne "u reçoit 1" par "u reçoit 4" sur le sens de variation de la suite?
BAC
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac13u_n+n-2$.
>- Calculez $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
-
- Démontrez que pour tout entier $n\geq 4$, $$u_n\geq 0$$
- Déduisez-en que pour tout entier naturel $n\geq 5$, $$u_n\geq n-3.$$
- Déduisez-en la limite de la suite u.
- On définie la suite $(v_n)$ par : $$n\in\mathbb{N}, v_n=-2u_n+3n-\frac{21}2.$$
- Démontrez que la suite v est une suite géométrique. Précisez sa raison et $v_0$.
- Déduisez-en que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$u_n=\frac{25}4(\frac13)^n+\frac32n-\frac{21}{4}.$$
- Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$S_n=\sum_{k=0}^{n} u_k.$$ Déterminez l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
BAC-Vrai ou faux
On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ dont aucun terme n'est nul.
On définit alors la suite $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ par $v_n=-\frac2{u_n}$.
- Si $(u_n)$ est convergente, alors $(v_n)$ est convergente.
- Si $(u_n)$ est minorée par 2, alors $(v_n)$ est minorée par -1.
- Si $(u_n)$ est décroissante, alors $(v_n)$ est croissante.
- Si $(u_n)$ est divergente, alors $(v_n)$ converge vers 0.
BAC
On note $u_n$ le nombres de foyers, exprimé en millions, possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.
On pose $n=0$ en 2005, $u_0=1$ et , pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{1}{10}u_n(20-u_n).$
- Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;20]$ par : $$f(x)=\frac{x}{10}(20-x).$$
- Étudiez les variations de la fonction $f$ sur $[0;20]$.
- Déduisez-en que pour tout x de $[0;10]$, $f(x)\in[0;10]$.
- Prouvez par récurrence que : $$\textrm{pour tout n de } \mathbb{N}, 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 10.$$
- Prouvez que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminez sa limite $l$. ( On admettra que cette limite est solution de l'équation $f(x)=x$.)