Cours

1. 1 pointDonner l'enoncé de la division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{Z}$
2. 3 pointsDémontrer le théorème sur la division euclidienne dans $\mathbb{N}$.
3. 1 pointDéfinir ce qu'est un nombre premier.

1. Montrer que tout entier n s'écrit sous l'une des trois formes $3k$, $3k+1$, $3k+2$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
   
   2 pointsLa DE de $n$ par 3 montre qu'il existe un unique coupe d'entiers (k,r) tel que : $n=3k+r$ et $0\leq r<3$.
   On a $r\in\{0;1;2\}$
   Ainsi $n=3k$ ou $n=3k+1$ ou $n=3k+2$.
2. En déduire que pour tout entier $n$ relatif, $n(2n^2+1)$ est divisible par 3.
   
   3 pointsNous allons faire un raisonnement par disjonction des cas en s'appuyant sur la uestion précédente.

   • Si $n=3k$
     $n(2n^2+1)=3(k(2(3k)^2+1))$ donc $n(2n^2+1)$ est divisible par 3.
   • Si $n=3k+1$
     $n(2n^2+1)=(3k+1)(2(3k+1)^2+1))=(3k+1)(18k^2+12k+3)=3(3k+1)(6k^2+4k+1)$ donc $n(2n^2+1)$ est divisible par 3.
   • Si $n=3k+1$
     $n(2n^2+1)=(3k+2)(2(3k+2)^2+1))=(3k+1)(18k^2+24k+9)=3(3k+1)(6k^2+8k+3)$ donc $n(2n^2+1)$ est divisible par 3.

   Ainsipour tout entier $n$ relatif, $n(2n^2+1)$ est divisible par 3.

Dans chaque déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne:

1. 65 par 7
   1 point$65=7\times 9+2$ donc le quotient cherché est 9 et le reste 2
2. 65 par -7
   1 point$65=-7\times -9+2$ donc le quotient cherché est -9 et le reste 2
3. -65 par -7
   1 point$-65=-7\times 10+5$ donc le quotient cherché est 10 et le reste 5
4. -65 par 7
1 point$-65=7\times -10+5$ donc le quotient cherché est -10 et le reste 5

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 8232.

Pour $a$ un entier naturel, on considère l'expression :$$(E):a^4-5a^3+7a^2$$

1. Montrer que $a^4-5a^3+7a^2=a^2(a^2-5a+7)$
   1 point$a^2(a^2-5a+7)=a^2a^2-5a^2a+7a^2=a^4-5a^3+7a^2$
2. En déduire les racines de $X^4-5X^3+7X^2$.
   1 point$X^4-5X^3+7X^2=0$ $Leftrightarrow$ $X^2=0$ ou $X^2-5X+7=0$
   Le discriminent de $X^2-5X+7$ est $\Delta=(-5)^2-4\times1\times7=-3<0$
   La seule racine de $X^4-5X^3+7X^2$ est 0.
3. Quels sont les valeurs de $a$ pour que $a^4-5a^3+7a^2$ soit un nombre premier
   2 points$a^4-5a^3+7a^2=a^2(a^2-5a+7)$ donc $a^2$ est un diviseur de $a^4-5a^3+7a^2$
   Pour que $a^4-5a^3+7a^2$ soit premier il faut que ses seuls diviseurs soit 1 ou lui même.
   si $a^2=1$ alors $a=1$ et $a^4-5a^3+7a^2=1-5+7=3$ donc $a=1$ convient.
   si $a^2=a^4-5a^3+7a^2$ alors $a=0$ ou $1=a^2-5a+7$ c'est à dire $a=0$ ou $a^2-5a+6=0$. Le cas $a=0$ est exclu puisque 0 n'est aps un nombre premier.
   le discriminent de $a^2-5a+6$ est $\Delta=(-5)^2-4\times\times6=1$ ce polynôme à deux racines : $3$ ou $2$.
   Si $a=3$ alors $a^4-5a^3+7a^2=81-135+63=9$ ce qui n'est pas un nombre premier.
   Si $a=2$ alors $a^4-5a^3+7a^2=16-40+28=4$ ce qui n'est pas un nombre premier.
   En conclusion seule la valeur $a=1$ convient.