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Implication et Contraposée

Le connecteur implication est un connecteur binaire :

Si $ A $ est vraie alors $B$ est vraie

On peut noter aussi :

$ A \Longrightarrow B$.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

La contraposée d'une implication est la proposition :

Si $B$ n'est pas vraie alors $A$ n'est pas vraie

On peut noter aussi:

$(Non B)\Longrightarrow(Non A)$

Une implication est équivalent à sa contraposée

Autrement dit, pour démontrer une implication, nous pouvons montrer sa contraposée et réciproquement.

Pour les exercices suivants et pour le reste de l'année, vous aurez besoin de connaitre les défintions suivantes :

  1. Démontrer l'implication : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n$ impair $\Longrightarrow$ $n^2$ impair.
  2. Démontrer par contraposée l'implication : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^2$ pair $\Longrightarrow$ $n$ pair
  1. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n$ pair $\Longrightarrow$ $n^2$ pair.
  2. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^2$ impair $\Longrightarrow$ $n$ impair

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde est un raisonnement qui permet de démontrer qu'une affirmation est vraie en montrant que son contraire est faux. Il s'appuie sur la règle logique que :

Si "non P" est faux, alors P est vraie.

Concrétement, pour démonter $A\Rightarrow B$. On supposera que A vraie et B faux et on espérera tomber sur une contradiction pour en déduire que l'implication est vraie.

Démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnelle.

Nous serons souvent amené à utiliser ce type de raisonnement cette année.

Raisonnement par disjonction des cas.

Lors d'un raisonnement par disjonction des cas, on étudie tous les cas possibles en faisant au préalable un tri pour restreindre le nombre de cas à étudier.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le produit $n(n +1)$ est divisible par 2.