Premier exercice du couple 1

Une maladie épizootique s'est développée dans un cheptel de bovins.
Un zoologiste a modélisé le nombre de bêtes atteintes par cette maladie, $t$ jours après l'apparition de celle-ci, par $N(t)=30t^2-t^3$ pour $0\le t\le 30$.

1. Déterminer le nombre de bêtes atteintes le cinquième jour après l'apparition de l'épizootie.

2. Déterminer le nombre moyen de bovins malades durant les 10 premiers jours.

3. Déterminer à quel moment le taux d'infection est maximum ainsi que le nombre de bovins alors atteints.

4. Ce cheptel bovins doit rester confiner lorsque plus de 1000 bovins sont infectés.
   Ce confinement conduit à surcoût de 850€ par jour.
   Déterminer le surcoût total du confinement de la totalité du cheptel pour l'éleveur.

Second exercice du couple 1

Un fabricant commercialise des montres connectées.
Les batteries utilisées pour fabriquer ces montres proviennent de deux fournisseurs différents, notés A et B.
75 % des batteries du stock du fabricant proviennent du fournisseur A, les autres proviennent du fournisseur B.
Le fabricant remarque des défauts de charge parmi les batteries de son stock.
Après analyse, il constate que 1.2 % des batteries provenant du fournisseur A et 2 % de celles provenant du fournisseur B sont défectueuses.
On prélève au hasard une batterie dans le stock du fabricant.
On considère les évènements suivants :

• $A$ : "la batterie prélevée provient du fournisseur A".

• $B$ : "la batterie prélevée provient du fournisseur B".

• $D$ : "la batterie prélevée est défectueuse".

1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.

2. 1. Calculer la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{D}$.

   2. Interpréter le résultat obtenu par une phrase.

3. Montrer que la probabilité que la batterie prélevée soit défectueuse est égale à 0.014.

4. Sachant que la batterie prélevée est défectueuse, déterminer la probabilité que celle-ci provienne du fournisseur B.
   On arrondira le résultat au millième.

5. Le fabricant prélève au hasard 50 batteries de son stock.
   Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 50 batteries, associe le nombre de batteries défectueuses.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser la valeur de ses paramètres.

   2. Calculer la probabilité qu'au moins deux batteries soient défectueuses. Arrondir le ré- sultat au millième.

   3. Calculer la probabilité qu'aucune batterie soit défectueuse. Arrondir le résultat au millième.

   4. Déterminer le nombre moyen de batteries défectueuses sur un tel lot de 50 batteries.

Premier exercice du couple 2

Partie A

Dans le cadre de la formation continue, une grande entreprise spécialisée en informatique propose à ses salariés de participer à un seul des trois stages suivants :

• Perfectionnement en anglais.

• Approfondissement en programmation.

• Initiation à la gestion.

On s’intéresse aux salariés qui se sont inscrits à l’un de ces stages.
Parmi eux, 40% ont choisi un perfectionnement en anglais, 25% ont choisi une initiation à la gestion, et les autres ont choisi un approfondissement en programmation. Les stages ayant tous lieu dans un même institut, l’entreprise a interrogé les salariés participant aux stages afin de savoir s’ils sont favorables à la mise en place d’un transport collectif pour effectuer le trajet entre l’entreprise et l’institut de formation.
Les résultats de ce sondage sont reportés ci-dessous :

• 50% des salariés ayant choisi le stage de perfectionnement en anglais et 40% des salariés ayant choisi le stage d’initiation à la gestion sont favorables à la mise en place d’un transport collectif.

• 20% des salariés ayant choisi le stage d’approfondissement en programmation ne sont pas favorables à la mise en place d’un transport collectif.

On interroge au hasard un salarié inscrit à l’un des trois stages. On note :

• $A$ l’évènement : "le salarié a choisi le stage de perfectionnement en anglais".

• $C$ l’évènement : "le salarié a choisi le stage d’approfondissement en programmation".

• $G$ l’évènement : "le salarié a choisi le stage d’initiation à la gestion".

• $T$ l’évènement : "le salarié est favorable à la mise en place d’un transport collectif".

1. Représenter la situation concrète grâce à un arbre de probabilités.

2. Justifier que $P(T)=0.58$.

3. Calculer la probabilité que le salarié soit favorable à la mise en place d'un transport collectif ou qu'il ait choisi un stage de perfectionnement en anglais.

4. Sachant que le salarié est favorable à la mise en place d’un transport collectif, calculer la probabilité qu’il ait choisi le stage d’initiation à la gestion. Arrondir le résultat au millième.

5. Les événements $T$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

Dans cette partie les résultats seront si nécessaire arrondis au millième.
On interroge à présent au hasard 150 participants au stage.
On suppose que le nombre de salariés est suffisamment grand pour assimiler ce sondage à un tirage avec remise, et on note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés souhaitant utiliser un transport collectif.
On rappelle que la probabilité qu’un salarié souhaite utiliser un transport collectif est égale à $0.58$.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité qu'exactement 60% des participants souhaitent utiliser un transport collectif ?

3. Déterminer la probabilité qu’au plus 100 salariés parmi les 150 interrogés souhaitent utiliser un transport collectif.

4. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter ce résultat par une phrase.

Deuxième exercice du couple 2

Lors d'une soirée, le taux d'alcool (exprimé en $g.L^{-1}$) dans le sang pour une personne est une fonction du temps $t$ exprimée en heure (h) après minuit.
On modélise cette fonction taux par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)=3te^{-kt}$, où $k$ est un paramètre qui dépend du poids de la personne et des aliments qu'elle a absorbés.

1. Déterminer le taux d'alcool à minuit, c'est-à-dire à l'instant initial.

2. Sachant que $k$ est un réel strictement positif, vers quel taux va se stabiliser à long terme ce taux d'alcool ? Justifier.

3. On suppose que le maximum du taux d'alcool de cette personne a été atteint au bout de $40$ minutes. Justifier que $k=\dfrac{3}{2}$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.

5. Le code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcool est supérieur ou égal à $0.5$ $g.L^{-1}$.
   Déterminer l'intervalle de temps pendant lequel la personne n'a pas le droit de conduire.

6. Déterminer le taux moyen d'alcool dans le sang durant les 6 premières heures.

Premier exercice du couple 3

Une usine assemble des ordinateurs.
Une des lignes d'assemblage de l'usine permet d'assembler entre $15000$ et $45000$ ordinateurs par an.

On admet que si cette ligne d'assemblage permet de produire $x$ milliers d'ordinateurs par an, le bénéfice associé, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[15~;~45]$ par: $f(x) = (45 - x)e^{0.1x} - 150$.

1. Déterminer le bénéfice associé à une production de $15000$ ordinateurs sur cette ligne de montage.

2. Déterminer le nombre d'ordinateurs que la ligne d'assemblage doit fabriquer par an afin d'obtenir un bénéfice associé maximal.
   Donner, à la dizaine d'euros près, la valeur de ce bénéfice maximal.

3. Déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice sur cette ligne de production.

4. Déterminer le bénéfice moyen lorsque la ligne de montage produit entre $30000$ et $40000$ ordinateurs.

5. En 2024, le bénéfice, arrondi à l'euro près, fut de $162 983$ euros.
   Quelle quantité d'ordinateurs a pu être produite sur cette ligne de montage ?

Second exercice du couple 3

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

On s'intéresse à la production d'un producteur de noix (nuciculteur) du Périgord.

Partie A : Probabilités conditionnelles

Pour ce nuciculteur, 62% des noix récoltées sont de la variété "Franquette", 27% des noix récoltées sont de la variété "Corne" et le reste sont des noix de la variété "Marbot".
Une étude statistique a montré que 3% des noix de la variété "Franquette", 4% des noix de la variété "Corne" et 2% des noix de la variété "Marbot" sont vides quand elles sont récoltées.
On choisit une noix au hasard dans la récolte de ce nuciculteur.
Toutes les noix ont la même probabilité d'être choisies.
On s'intéresse alors aux évènements suivants:

• $F$ : la noix est de la variété "Franquette".

• $C$ : la noix est de la variété "Corne".

• $M$ : la noix est de la variété "Marbot".

• $V$ : la noix est vide.

1. Modéliser le problème par un arbre de probabilité.

2. Calculer la probabilité que la noix soit de la variété "Franquette" et qu'elle soit vide.

3. Calculer la probabilité $P\left(F \cap \overline{V}\right)$.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

4. Démontrer que $P(V) = 0.0316$.

5. On suppose que la noix choisie n'est pas vide.
   Quelle est la probabilité qu'elle soit de la variété "Corne" ? Arrondir le résultat à $0.001$ près.

Partie B : Loi binomiale

On prélève au hasard $100$ noix dans la récolte de ce nuciculteur.
La quantité de noix est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ noix dans la récolte de ce nuciculteur, associe le nombre de noix vides.
On admet que la probabilité pour qu'une noix soit vide est égale à $0.03$.

6. Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

7. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

8. Calculer $P(X = 1)$, arrondi à $0.001$ près et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

9. Calculer $P(X \le 3)$. Arrondir à $0.001$ près.

10. Calculer la probabilité pour que, dans un tel prélèvement, au moins quatre noix soient vides. Arrondir à $0.001$ près.

Premier exercice du couple 4

Un téléphone portable émet un signal Wifi à une puissance de 20 décibels-milliwatts (dBm).
Cet signal émis est atténué suivant :

• la fréquence $f$ du signal exprimé en gigaHertz (GHz).

• la distance $d$ parcourue par ce signal exprimée en mètres (m).

• la nature des matériaux traversés.

On admet dans cet exercice que lorsque la distance parcourue est supérieure ou égale à 1 mètre et qu'aucun obstacle n'est présent, cette atténuation est donnée par la fonction $A$ définie par $A(d)=32.35 + 8.7\ln(f\times d)$, atténuation exprimée en dBm et distance $d$ en mètres.

1. Une mesure technique permet de savoir qu'à 100 mètres du téléphone portable, l'atténuation est de 80 dBm.
   Déterminer la fréquence $f$ d'émission du signal, fréquence exprimée en GHz et arrondie à $10^{-3}$.

On admet pour toute la suite un signal émis à une fréquence $f$ de 2.4 GHz.
Une valeur approchée de la puissance $P$ du signal mesurée $d$ mètres après émission est donnée par la fonction $P$ définie sur $[1;+\infty[$ par $P(d)=20-A(d)$. Cette puissance est aussi exprimée en dBm.

2. Déterminer le signe de la fonction puissance $P$ sur $[1;+\infty[$.

3. Que dire de la puissance du signal exprimée en dBm à très grande distance du téléphone portable émettant ce signal ?

4. Déterminer précisément les variations de la fonction puissance $P$ sur l'intervalle $[1;+\infty[$.

5. Le tableau suivant indique la qualité du signal en fonction de sa puissance :

   Puissance du signal	Qualité du signal
   Supérieure à -50 dBm	Excellente
   Comprise entre -60 à -50 dBm	Bonne
   Comprise entre -70 à -60 dBm	Moyenne
   Inférieure à -70 dBm	Faible

   Déterminer la distance maximale, arrondie au centimètre près, pour laquelle la qualité du signal est bonne.

Une grande entreprise de service informatique propose à ses clients une nouvelle fonctionnalité de Cloud à ses clients. On dispose des données suivantes :

• 70% des clients de l'entreprise sont des PME (Petites et Moyennes Entreprises), les autres sont des plus grosses entreprises.

• Parmi les PME, 38% sont intéressées pour tester la nouvelle fonctionnalité.

• Parmi les plus grosses entreprises, 25% sont intéressées pour tester la nouvelle fonctionnalité.

On choisit un client de l'entreprise au hasard.

On note $A$ l'événement "Le client est une PME" et $T$ l'événement "Le client est intéressé pour tester la nouvelle fonctionnalité".

1. Représenter la situation décrite par un arbre de probabilités.

2. Calculer la probabilité de l'événement "Le cient est une PME intéressée pour tester la nouvelle fonctionnalité".

3. Montrer que la probabilité de l'événement "Le client est intéressé pour tester la nouvelle fonctionnalité" est égale à $0.341$.

4. Un client ayant testé la nouvelle fonctionnalité reprend contact avec un commercial de l'entreprise.
   Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que ce soit une PME ?

5. On choisit au hasard 200 clients de l'entreprise. Les clients de l'entreprise sont suffisamment nombreux pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
   On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de 200 clients, associe le nombre de clients qui ont testé la nouvelle fonctionnalité.

   1. Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, paramètres à préciser.

   2. Quelle est la probabilité, arrondie à $10{-3}$ près, qu'au plus 60 des 200 clients choisis aient testés la nouvelle fonctionnalité ?

   3. Quelle est la probabilité, arrondie à $10{-3}$ près, qu'exactement 74 des 200 clients choisis aient testés la nouvelle fonctionnalité ?

   4. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.

Une entreprise fabrique entre autres des pare-feu matériel. Ces pare-feu ont pour rôle d'inspecter de manière approfondie des paquets (DPI), de détecter des intrusions (IDS) et de prendre en charge des réseaux locaux virtuels (VLAN).
Pour construire un pare-feu matériel, l'entreprise commande auprès de 3 fournisseurs des ports RJ45 femelles.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.

Partie A : Probabilités conditionnelles

L'usine se procure des ports RJ45 femelles auprès de trois fournisseurs différents :

• 30 % des ports RJ45 femelles proviennent d'un premier fournisseur. Parmi eux, 3 % sont défectueux.

• 60 % des ports RJ45 femelles proviennent d'un deuxième fournisseur. Parmi eux, 4 % sont défectueux.

• Le reste des ports RJ45 femelles proviennent d'un troisième fournisseur. Parmi eux, 2 % sont défectueux.

On prélève ports RJ45 femelle au hasard. On considère les événements suivants :

• $F_1$ : "le port RJ45 femelle provient du premier fournisseur".

• $F_2$ : "le port RJ45 femelle provient du deuxième fournisseur".

• $F_3$ : "le port RJ45 femelle provient du troisième fournisseur".

• $D$ : "le port RJ45 femelle est défectueux".

1. Modéliser la situation concrète par un abre de probabilités.

2. Calculer la probabilité $P(F_1\cap D)$.

3. Montrer que la probabilité que le port RJ45 femelle soit défectueux est égale à 0.035.

4. On sait que le port RJ45 femelle est défectueux.
   Quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ?

Partie B : Loi binomiale

On estime que 3.5 % des ports RJ45 femelles du stock de l'usine sont défectueux.
On prélève un échantillon aléatoire de 1000 ports RJ45 femelles dans le stock de l'usine. Le stock est suffisamment important pour considérer ce prélèvement comme un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de ports RJ45 femelles défectueux au sein de l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont les paramètres sont à préciser.

2. Calculer la probablité qu'il y ait entre 32 et 55 ports RJ45 femelles défectueux.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 40 ports RJ45 femelles défecteux.

4. Déterminer le nombre moyenne de ports RJ45 femelles défectueux.

Un ensemble nautique veut construire un nouveau bassin.
Depuis un des bords de ce bassin, le segment $[CD]$, les personnes peuvent s'amuser à sauter dans l'eau du bassin pour ressortir en face.
Pour cela, les concepteurs proposent pour le bassin la forme suivante :

La largeur $CD$ vaut 4 mètres.
On munit l'espace d'un repère $(D~;~\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ de sorte que l'unité correspond à un mètre, que le vecteur $\overrightarrow{j}$ corresponde au quart du vecteur $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{k}$ est un vecteur vertical pointant vers le haut.

Le profil du bassin (c'est-à-dire la profondeur) est donné par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $h$, définie par $h(x)=1-3(x+1)e^{-\frac{x}{2}}$, où $x$ correspond à la distance du bord de la zone de départ du plongeon.

1. Déterminer au millimètre près la longueur de ce bassin.

2. Déterminer la profondeur maximale du bassin.

3. Quelle est la profondeur à l'endroit où sautent les personnes ?

4. Pour assurer l'étanchéité du bassin, les bords latéraux doivent recouvert d'un enduit.
   Déterminer la surface totale formée par les trois bords latéraux. (Arrondir au $dm^3$ près)

5. Quel est le volume d'eau, au litre près, nécessaire pour remplir le bassin ?

6. Quelle est la profondeur moyenne du bassin, arrondie au millimètre près ?

7. Lors d'un entretien, le bassin est presque entièrement vidé. Le niveau d'eau est alors à 2.5 mètres de profondeur.
   Quelle est la quantité d'eau restante dans le bassin alors ?