Une usine fabrique trois sortes de pièces dans un même matériau.
Le nombre total de pièces fabriquées est $N$, leur masse totale en kg est $M$ et le coût total d’expédition en euros est $C$.
On peut synthétiser cette situation par le tableau incomplet suivant :

Le système suivant fournit des informations complémentaires sur cette fabrication : $(S): \left \{ \begin{array}{r l r l r l} x &+&y&+&z & =N \\ x&+&2y&+&3z &=M \\ 40x&+&20y&+&10z &=C \end{array} \right.$

1. Recopier et compléter le tableau de synthèse ci-dessus à l’aide des coefficients du système.

2. On considère les matrices $V=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}N\\M\\C\end{pmatrix}$.
   Quelle doit être la matrice $A$ pour que le système s’écrive $AV=B$ ?

3. Déterminer la matrice inverse de la matrice $A$.

4. Sans effectuer les produits de matrices en cause, démontrer l’équivalence : $AV=B \iff V=A^{-1}B$.

5. Déduire de la question précédente $V$ en fonction de $N$, $M$ et $C$.

6. Dans cette question $C=8100$€, $M=360$kg et $N=250$.
   Combien a-t-on fabriqué de pièces de chaque catégorie ?

Dans un test sur un nouveau médicament contre l'herpès, les patients examinés ont été divisés en trois groupes :

• les patients avec le syndrome débutant ($D$),

• les patients avec le syndrome avancé ($A$),

• les patients rétablis ($R$).

Les patients sont en nombre constant tout au long du test.
On a pu établir d'une semaine à la suivante que :

• un patient dans l'état ($D$) a une probabilité de 30% de rester dans l'état ($D$), de 20% de passer à l'état ($A$) et de 50% de passer à l'état ($R$).

• un patient dans l'état ($A$) a une probabilité de 80% de rester dans l'état ($A$), de 0% de passer à l'état ($D$) et de 20% de passer à l'état ($R$).

• un patient dans l'état ($R$) ne peut que le rester.

On note $P_n$ la matrice ligne $P_n=\begin{pmatrix}d_n&a_n&r_n\end{pmatrix}$ où $d_n$, $a_n$ et $r_n$ désignent les probabilités qu'un patient choisi au hasard, soit respectivement dans le groupe ($D$), ($A$) et ($R$) au bout de $n$ semaines.
On suppose qu'au départ du test, 20% des patients ont un syndrome débutant et 80% ont un syndrome avancé.

1. À l'aide de l'énoncé, déterminer la matrice $P_0$.

2. À l'aide de l'énoncé, déterminer la matrice carrée $M$ d'ordre 3 telle que $P_1=P_0\times M$.

   Aidez-vous d'un schéma comme le suivant :

3. Calculer la proportion de patients dans chaque au bout d'une semaine.

4. On admet que pour tout entier $n$, on a $P_n=P_0\times M^n$.
   À l'aide de l'affichage de Xcas suivant, que pouvez-vous conjecturer quant au comportement à l'infini de la suite $(P_n)$ ?
   

5. Que peut-on en déduire quant à l'efficacité du médicament ?

Pour décrire les mouvements de translation et de rotation dans l’espace des robots utilisés, par exemple, dans l’industrie automobile, on utilise des matrices.

On considère les matrices suivantes, qui correspondent à deux rotations dans l’espace : $A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$.

Calculer la matrice $A\times B$ qui correspond à la composée des deux rotations dans l’espace.

Une agence de voyage propose un circuit touristique pour visiter 3 villes A, B et C. Le client peut choisir la durée de séjour dans chacune des villes. L'agence propose des tarifs qui diffèrent selon la période. Il existe 3 périodes touristiques :

1. une période haute (tarifs plus élevés),

2. une période moyenne,

3. une période basse.

Les prix journaliers, en centaines d'euros par personne, dans les différents lieux sont donnés dans le tableau suivant :

On appelle $P$ la matrice $\begin{pmatrix} 2.5&3.5&1.5\\ 2&2&1.5\\1&1&1 \end{pmatrix}$ qui représente les prix journaliers par ville et par période.

1. Monsieur M choisit un circuit de 14 jours qui comprend 6 jours dans la ville A, 5 jours dans la ville B et 3 jours dans la ville C. On associe la matrice $M=\begin{pmatrix} 6\\ 5\\3 \end{pmatrix}$.

   1. Calculer le produit matriciel $P\times M$.
      Que représentent les termes de la matrice obtenue ?

   2. Monsieur M dispose d'un budget de 2600€. À quelle période pourra-t-il faire son voyage ?

2. Déterminer la matrice inverse de $P$.

3. Dans une publicité, l'agence de voyage affirme qu'un circuit complet de 14 jours est possible au prix de 2600€ en période haute, 2250€ en période moyenne et 1400€ en période basse.
   Comment se compose ce voyage ?

4. On considère le système suivant : $\left \{ \begin{array}{r r r r r c} 2.5a &+&3.5b&+&1.5c & =38 \\ 2a &+&2b&+&1.5c & =26 \\ a&+&b&+&c & =14\end{array} \right.$.

1. Réécrire ce système à l'aide d'un produit matriciel faisant apparaître, entre autres la matrice $P$ et celle $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

2. Résoudre le système en utilisant l'écriture matricielle.

3. Que représentent par rapport au voyage les termes obtenus comme solutions du système ?

En informatique, on utilise des triplets de nombres réels pour identifier une couleur. Comme les triplets de couleurs font penser à des coordonnées de points dans l'espace, on parle d'espace colorimétrique.
Dans l'espace RVB (pour Rouge, Vert et Bleu) on associe, par exemple, à la couleur rouge le triplet (1;0;0).
Il est parfois nécessaire d'utiliser un autre espace colorimétrique : l'espace YUV (où Y désigne la luminance et U et V désignent la chrominance) est, par exemple, utilisé lors de la compression d'images au format JPEG ou vidéo au format MPEG.
La composante Y correspond au niveau de gris tandis que U et V correspondent à la différence entre ce niveau de gris avec le niveau de bleu puis avec le niveau de rouge.
Pour faire la conversion du RVB vers le YUV, on utilise la relation matricielle suivante : $\begin{pmatrix}Y\\U\\V\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.299&0.587&0.114\\-0.14713&-0.28886&0.436\\0.615&-0.51498&-0.10001 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}R\\V\\B\end{pmatrix}$.

1. Quel est le triplet qui représente la couleur rouge dans le système YUV ?

2. La couleur "amande" est représentée par le triplet $(0.883 ; -0.041 ; 0.05)$ dans le système YUV.
   Déterminer le triplet correspondant à cette couleur dans le système RGB.

Une société produit trois types de fibres optiques à partir de silice, forme naturelle du dioxyde de silicium ($SiO_2$) qui entre dans la composition de nombreux minéraux. Elle produit :

• $x$ pièces du type A, dont le débit supporté vaut 1 gigabit par seconde.

• $y$ pièces du type B, dont le débit supporté vaut 10 gigabits par seconde.

• $z$ pièces du type C, dont le débit supporté vaut 100 gigabits par seconde.

Pour une pièce, la masse de silice utilisée et le temps de production de chacun de ces types de fibres sont récapitulés dans le tableau suivant :

La société modélise cette fabrication afin d’envisager différents scénarios sur une période donnée.
Pour cette période, on note $N$ le nombre total de pièces produites, $S$ la masse totale en kg de silice utilisée et $H$ le temps total de production exprimé en heure.

1. Justifier le fait que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $\left \{ \begin{array}{r l r l r l} x &+&y&+&z & =N \\ 3x&+&4y&+&7z &=S \\ 2x&+&3y&+&5z &=H \end{array} \right.$.

2. On considère les matrices colonnes $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et colonnes $Y=\begin{pmatrix}N\\S\\H\end{pmatrix}$.
   Déterminer la matrice carrée $M$ qui traduit le système ci-dessus par l'équation matricielle $M\times X=Y$.

3. Calculer $Y$ lorsque $X=\begin{pmatrix}20\\10\\30\end{pmatrix}$.
   Interpréter les résultats obtenus dans le contexte de l’exercice.

4. Pour une période donnée, l’entreprise dispose de 94 kg de silice et de 67 heures de production. Elle souhaite fabriquer 21 pièces de fibres.
   Combien de pièces de chaque type peut-elle fabriquer ?

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches :

Le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail :

1. On considère les matrices suivantes : $H=\begin{pmatrix} 8&10&14\\6&6&10\\12&10&18 \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} 25\\20\\15 \end{pmatrix}$.

   1. Calculer à la main le produit $P=H\times C$.

   2. Que représentent les coefficients de la matrice $P$ ?

2. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :
   Modèle 1 : 584€ ; Modèle 2 : 402€ ; Modèle 3 : 736€.
   Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste permettant d’obtenir ces prix de revient.
   Déterminer pour lui les nouveaux coûts horaires.

Une firme nationale fabrique des commutateurs perfectionnés dans trois usines : l’usine 1, l’usine 2 et l’usine 3.
Les trois usines fabriquent trois modèles différents de commutateurs : A, B et C.
Le nombre de motos produites par heure de travail dans les trois usines est donné dans le tableau suivant :

On note $x$, $y$ et $z$ le nombre d’heures de travail respectivement dans l’usine 1, dans l’usine 2 et dans l’usine 3.
On note $a$, $b$ et $c$ le nombre total de commutateurs fabriqués respectivement de modèles A, B et C.
Dans la suite de l’énoncé, on admet que cette situation peut se traduire matriciellement par l'égalité $Y=M\times X$.

1. Déterminer les matrices $M$, $X$ et $Y$.

2. 1. Durant une période donnée, 50 h de travail ont été effectuées dans l’usine 1, 30 h dans l’usine 2 et 26 h dans l’usine 3. Donner la matrice $X$ correspondante.

   2. Quel est le nombre de commutateurs de modèle A fabriqués pendant cette période ? De modèle B ? De modèle C ?

3. Au cours de l’année 2024, ont été fabriquées : 21450 commutateurs de modèle A ; 62350 commutateurs de modèle B ; 38050 commutateurs de modèle C.
   Déterminer le nombre d’heures qui ont été nécessaires dans chaque usine pour réaliser cette production. Justifier.

Lorsque l'on effectue une recherche sur Internet avec un moteur de recherche, celui-ci affiche les pages Web du résultat de la recherche par ordre croissant de pertinence.
La qualité du moteur de recherche est basée sur la notion de pertinence d'une page. Comment définir cette pertinence ?
Comme les pages Web sont reliées les unes aux autres par des liens hypertexte, l'idée consiste à dire qu'une page Web est d'autant plus pertinente qu'elle est pointée par de nombreuses pages Web, elles aussi pertinentes.
L'algorithme PageRank®, développé par Larry Page, cofondateur avec Sergey Brin de Google, et breveté en 1998, attribue à chaque page Web une valeur, appelée indice de pertinence, proportionnelle à la probabilité qu'un surfeur, parcourant le Web en cliquant aléatoirement sur l'un des liens apparaissant sur chaque page, passe par cette page, au bout d'un très grand nombre de clics.

Une première approche : étude asymptotique du surf sans saut :

Pour simplifier énormément, réduisons le web à trois pages Web, numérotées 1, 2 et 3, reliées entre elles par des liens hypertexte de la façon schématisée ci-contre :

• Le site 1 référence les sites 2 et 3 : on peut donc accéder à ces sites directement depuis le site 1.

• Le site 2 référence les sites 1 et 3.

• Le site 3 ne référence que le site 1.

Initialement, un surfeur choisit au hasard l'une des trois pages.

Ensuite, à chaque étape de son surf, il choisit au hasard, donc de manière équiprobable, une page parmi celles référencées par la page, c'est-à-dire une parmi celles vers lesquelles pointe la page où il se trouve sur le schéma. Ainsi, le schéma précédent est augmenté des probabilités de suivre un chemin donné.
Ainsi, lorsque le surfeur est sur la page 1, la probabilité qu'il se dirige vers la page 2 est de $\dfrac{1}{2}$ par contre de la page 3, il est certain d'aller sur la page 1, donc la probabilité est de 1.
D'où le schéma suivant modélisant le Web simplifié :

On s'intéresse désormais à la probabilité de présence du surfeur sur une page donnée au bout de $n$ étapes de surf.
Pour cela, on définit mathématiquement la variable aléatoire $X_n$ qui donne le numéro de la page où se trouve le surfeur au bout de $n$ clics. Il y a trois valeurs possibles pour $X_n$ : 1, 2 et 3. (les 3 pages du Web simplifié).

Une note $U_n$ la matrice colonne donnant les probabilités d'être à une page donnée au bout de $n$ étapes.
On a donc $U_n=\begin{pmatrix}P(X_n=1)\\P(X_n=2)\\P(X_n=3)\end{pmatrix}$. C'est cette matrice qui donnera, à un coefficient de proportionnalité près l'indice de pertinence au bout d'un très grand nombre de clics, c'est-à-dire pour $n$ assez grand.

1. Justifier que si le surfeur débute depuis une page au hasard, alors $U_0=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$.

2. Déterminer la matrice $A$ telle que pour tout entier $n$, on a : $U_{n+1}=A\times U_n$.

3. Montrer que $U_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ et que $U_2=\begin{pmatrix}\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$.

4. 1. Utiliser Xcas pour calculer $U_{10}$ puis $U_{100}$ et enfin $U_{1000}$.

   2. Que peut-on conjecturer sur le comportement de la suite $(U_n)$ lorsque le nombre $n$ d'étapes du surf sur ces pages devient grand ?

   3. Classer, à partir des résultats affichés par Xcas, les trois pages de la plus pertinentes à la moins pertinente.

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours.
En septembre 2024, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A, plat B et plat C. D’un jour à l’autre, il constate que :

• Parmi les clients ayant choisi le plat A : 30 % reprennent le plat A le lendemain, 50 % prennent le plat B le lendemain.

• Parmi les clients ayant choisi le plat B : 30 % reprennent le plat B le lendemain, 60 % prennent le plat A le lendemain.

• Parmi les clients ayant choisi le plat C : 35 % prennent le plat A le lendemain, 45 % prennent le plat B le lendemain.

On note pour tout entier $n$ non nul :

• $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour.

• $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour.

• $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.

Pour tout entier $n\ge 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste le $n$-ième jour.

1. Représenter cette situation en reproduisant et en complétant le graphe probabiliste suivant :

2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets, c'est-à-dire la matrice $M$ telle que pour tout entier naturel non nul $n$ : $P_{n+1}=M\times P_n$.

3. Le restaurateur a noté que, le premier jour, 35,5 % des clients ont pris le plat A, 40,5 % ont pris le plat B et 24 % ont pris le plat C.
   Donner la matrice $P_1$.

4. Calculer $P_2$.

5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ 15,9 %. A t il raison ? Justifier.

6. Déterminer la proportion de clients pour chacun des plats à très long terme.