On reprend la suite précédente définie par $u_n=n^2$.

1. Calculer le sixième terme de la suite $(u_n)$.

2. Comment se note le terme suivant $u_n$ ?

3. Exprimer le terme suivant $u_n$ en fonction de $n$.

4. Comment se note le terme précédant $u_n$ ?

5. Exprimer le terme précédant $u_n$ en fonction de $n$.

On considère la fonction cube $f:x \mapsto x^3$.
On définie la suite $(u_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$.

1. Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$ des cubes d'entiers.

2. Déterminer le terme général de la suite $(u_n)$.

3. Peut-on calculer directement le $10^{ème}$ terme de la suite $(u_n)$ ?

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2n^2-7n-4$.

1. La suite $(u_n)$ est peut être vue comme une suite définie par une forme explicite $u_n=f(n)$.
   Déterminer l'expression de $f(x)$ permettant cette définition explicite.

2. Déterminer l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

3. Reproduire et compléter le tableau suivant ainsi que les commentaires liés :

Soit $(u_n)$ la suite définie par le terme général $u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}$.

1. Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.

2. Peut-on calculer directement le $10^{ème}$ terme de la suite $(u_n)$ ?

3. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2n+3}{n+3}$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$ pour $n\ge 0$.

1. Calculer $u_1$.

2. Justifier que $u_2=5$.

3. Calculer les troisième et quatrième terme de la suite $(u_n)$.

4. Peut-on calculer directement le $10^{ème}$ terme de la suite $(u_n)$ ?

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=20$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}= \dfrac{1}{2} v_n+2$.

1. Calculer à la main les 5 premiers termes de la suite $(v_n)$.

2. Vérifier sur Geogebra ces premiers termes.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous (en langage python ou en pseudo-langage) afin qu'ils permettent de connaître la valeur du terme d'indice 20 de la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\dfrac{5u_n+1}{2u_n+n}$.

Version python :

u = ... 
for ...:
	... = ...
print("Le terme d'indice 20 est ", ...)

Version pseudo-langage :

u ← ... 
Pour ... allant de ... à ... faire
	...  ←   ...
Fin_Pour 
Afficher("Le terme d'indice 20 est ", ...)

Version C++ :

#include <iostream> 
using namespace std;

int main(){
    float u = ... ;
    for (int ... = ...; ... < ...; ...++){
    	... = ...;
        } 
    cout<<"Le terme d'indice 20 est "<<...<<endl;
    return 0;
    }

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous (en langage python ou en pseudo-langage) afin qu'ils permettent de connaître la valeur du terme d'indice 20 de la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\dfrac{5u_n+1}{2u_n+n}$.
La différence avec l'algorithme précédent est l'utilisation désormais d'une boucle répétitive conditionnelle while.

n = ... 
u = ... 
while ...:
	... = ...
	... = ...
print("Le terme d'indice 20 est ", ...)

Version pseudo-langage :

n ← ... 
u ← ... 
Tant que ... faire
	... ←   ...
	... ←   ...
Fin_Tant que 
Afficher("Le terme d'indice 20 est ", ...)

Version C++ :

#include <iostream> 
using namespace std;

int main(){
    int n = ...;
    float u = ... ;
    while (... < ...){
    	... = ...;
    	... = ...;
        } 
    cout<<"Le terme d'indice 20 est "<<...<<endl;
    return 0;
    }

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=20$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}= \dfrac{1}{2} v_n+2$.

Proposer un algorithme qui permet d'obtenir les $p$ premiers termes de la suite où $p$ est choisi par l'utilisateur.

Une banque propose, pour un placement d’un montant de 1500 euros fait le 1er janvier 2025, un taux d’intérêt simple annuel de 2 %. Cela signifie qu’à la fin de chaque année on reçoit un intérêt représentant 2% du capital initial versé le 1er janvier 2025. Ce capital est noté $C_0$.
Le capital disponible au bout d’un an est noté $C_1$ et le capital disponible au bout de 2 ans $C_2$, ... le capital disponible au bout de $n$ ans est noté $C_n$.

1. Justifier que $C_1=1530$ et que $C_2=1560$.

2. Calculer $C_3$.

3. Établir une relation entre $C_n$ et $C_{n+1}$ en utilisant le fait qu'une seule année sépare ces deux montants du capital.

4. Déterminer la relation permettant de connaître $C_n$ à partir de $C_0$ et de $n$.

5. Si on laisse pendant 10 ans le compte sans retirer d’argent alors combien y aura-t-il au bout de dix ans ?

On considère $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
On admet que $u_0=-3$ et $u_{14}=25$.
Utiliser les deux formules précédentes afin de répondre aux deux questions suivantes.

1. Calculer la raison $r$ de cette suite arithmétique.

2. Calculer le terme $u_{13}$.

On considère une suite arithmétique $(u_n)$.
Déterminer l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$ et les variations de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants :

1. Le premier terme est 1000 et la raison est -150.

2. Le premier terme est 2 et la raison est 3.

Une banque propose, pour un placement d’un montant de 1500 euros fait le 1er janvier 2025, un taux d’intérêt composé annuel de 2 %. Cela signifie qu’à la fin de chaque année on reçoit un intérêt représentant 2% du capital présent sur le compte en début d'année. Le capital initial est noté $C_0$.
Le capital disponible au bout d’un an est noté $C_1$ et le capital disponible au bout de 2 ans $C_2$, ... le capital disponible au bout de $n$ ans est noté $C_n$.

1. Justifier que $C_1=1530$ et que $C_2=1560,60$.

2. Calculer $C_3$.

3. Établir une relation entre $C_n$ et $C_{n+1}$ en utilisant le fait qu'une seule année sépare ces deux montants du capital.

4. Déterminer la relation permettant de connaître $C_n$ à partir de $C_0$ et de $n$.

5. Si on laisse pendant 10 ans le compte sans retirer d’argent alors combien y aura-t-il au bout de dix ans ?

On considère $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.
On admet que $u_4=6$ et $u_7=48$.
Utiliser les deux formules précédentes afin de répondre aux deux questions suivantes.

1. En notant $q$ la raison de cette suite géométrique, justifier que $u_7=u_4\times q^3$.

2. Calculer la raison $q$ de cette suite géométrique, puis son premier terme $u_0$.

3. Calculer le terme $u_5$.

Dans l'animation ci-dessous, déplacer les curseurs $n$ et $q$ :

Compléter les phrases suivantes en sélectionnant la bonne réponse dans la liste de réponses possibles puis vérifier vos réponses en cliquant sur le bouton vérifier :

• Une suite géométrique de raison $q$ à termes positifs est strictement croissante lorsque $0\lt q\lt 1$ $q=1$ $q\gt 1$

• Une suite géométrique de raison $q$ à termes positifs est strictement décroissante lorsque ... $0\lt q\lt 1$ $q=1$ $q\gt 1$

• Une suite géométrique de raison $q$ à termes positifs est constante lorsque ... $0\lt q\lt 1$ $q=1$ $q\gt 1$

On considère une suite géométrique $(u_n)$.
Déterminer l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$ et les variations de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants :

1. Le premier terme est 1000 et la raison est $\dfrac{1}{2}$.

2. Le premier terme est 2 et la raison est 3.

Dans un certain type de fibre optique, la qualité d'une information numérique est réduite de 1% pour chaque kilomètre de fibre parcouru.
On note $q_n$ la qualité de l'information à $n$ kilomètres de fibre parcouru. On prend comme valeur de départ $q_0=1$.

1. Quelle est la nature de la suite $(q_n)$ ?

2. Quelles variations pour la suite $(q_n)$ conjecturez-vous ?

3. Prouver cette conjecture.

4. Que penser de la qualité du signal au bout d'un grand nombre de kilomètres parcourus ?

5. On veut vérifier la conjecture du 4. à l'aide d'un algorithme.
   Pour cela, on cherche à savoir au bout de combien de kilomètres n la qualité du signal q devient inférieur à la précision p que choisi l'utilisateur du programme.
   Compléter l'algorithme (en langage python ou en pseudo-langage) suivant pour vérifier la conjecture du 4.

   Version python :

   # demander à l'utilisateur de saisir un flottant p correspondant à la précision voulue 
   ... 
   n = ... 
   q = ... 
   # boucle répétitive
   ...: 
       ... = ...
       ... = ...
   print("Le signal devient trop atténué au bout du kilomètre", ...)
   

   Version pseudo-langage :

   ... p
   n ← ... 
   q ← ... 
   ... faire
   	... ←   ...
   	... ←   ...
   Fin_...
   Afficher("Le signal devient trop atténué au bout du kilomètre", ...)

   Version C++ :

   #include <iostream> 
   using namespace std;
   
   int main(){
       float p;
       cout << "Saisir un entier :";
       ...;
       int n = ...;
       float q = ...;
       while (...){
       	... = ...;
       	... = ...;
           } 
       cout<<"Le signal devient trop atténué au bout du kilomètre "<<...<<" kilomètres"<<endl;
       return 0;
       }
   

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= \dfrac{n^2-2n}{n+1}$.

1. Calculer à la main les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$.

2. Vérifier à l'aide d'un logiciel ces premiers termes.

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2-n+2$.

1. Calculer à la main les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$.

2. Vérifier à l'aide d'un logiciel ces premiers termes.

3. Déterminer l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_{0}=20$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{1}{2}u_n+2$.

1. Calculer à la main les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$.

2. Vérifier à l'aide d'un logiciel ces premiers termes.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_{0}=20$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{1}{2}u_n+2$.

Proposer un algorithme qui permet d'obtenir les $p$ premiers termes de la suite où $p$ est choisi par l'utilisateur.

Soit la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme -2.5 et de raison $r=4.5$.

1. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.

2. On considère l'algorithme ci-dessous en version python et en pseudo-langage :

   Version python :

   S = 0
   for n in range(3):
       u = -2.5+4.5*n 
       S = S+u
       print(S)

   Version pseudo-langage :

   S ← 0
   Pour n allant de 0 à 2 faire
     	u ← -2.5+4.5*n
     	S ←  S+u 
   	Afficher S
   Fin_Pour

   Recopier et compléter le tableau suivant en mettant en œuvre l'algorithme :

   $n$	$u_n$	$S$
   0	...	...
   1	...	...
   2	...	...
   3	...	...

3. Que permet cet algorithme ?

4. Que se passe-t-il si l'affichage n'est plus une tâche de la boucle répétitive de sorte que l'algorithme devienne (en langage python ou en pseudo-langage):

   Version python :

   S = 0
   for n in range(4):
       u = -2.5+4.5*n 
       S = S+u
   print(S)

   Version pseudo-langage :

   S ← 0
   Pour n allant de 0 à 3 faire
     	u ← -2.5+4.5*n
     	S ←  S+u 
   Fin_Pour
   Afficher S

Soit la suite $(u_n)$ est une suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+n-1$.

1. Calculer à la main les premières valeurs $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule et affiche le terme de rang 100 :

   Version python :

   u = ... 
   n = ...
   for i in range(...):
       ... = ...
       ... = ... 
       ...
   ...

   Version pseudo-langage :

   u ← ...
   n ← ...                 
   Pour i allant de ... à ... faire
     	... ← ...
     	... ← ... 
   	...
   Fin_Pour
   ...

3. Comment modifier l'algorithme afin qu'il affiche les 101 premiers termes ?

4. On désire vérifier les résultats obtenus grâce à l'algorithme à l'aide du tableur. On a déjà commencé à remplir certaines cases du tableur de Geogebra ci-dessous :

   Quelle formule saisir dans la cellule B3 afin que par glissement, on puisse obtenir la succession des valeurs prises par la suite $(u_n)$ dans la colonne B ?

5. Modifier l'algorithme afin qu'il calcule et affiche aussi la somme de tous les termes entre $u_0$ et $u_{100}$.
   Pour cela, vous pouvez utiliser une nouvelle variable $S$.

6. Quelles formules suffit-il de saisir dans la cellule C2 et C3 afin d'obtenir, par glissement, dans la colonne C la somme de tous les termes de la suite entre $u_0$ et $u_{n}$ ?

Une personne a placé, le 1er janvier 2022, 5000€ à intérêts composés au taux annuel de 1.5%.
On note $C_n$ le capital de cette personne au bout de $n$ années de placement.

1. Déterminer la nature de la suite $(C_n)$ en justifiant d'une phrase. (arithmétique, géométrique, ...)

2. Déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.

3. Compléter l'algorithme suivant permettant de savoir au bout de combien d'années le capital aura doublé.

   Version python :

   n = ...
   C = ...
   # boucle répétitive
   ...:
       ... = ...
     	... = ... 
   print(...)

   Version pseudo-langage :

   n ← ...
   C ← ...                 
   ... faire
     	... ← ...
     	... ← ... 
   Fin_Pour
   Afficher ...

Une mairie a étudié l'évolution de la population de cette ville : chaque année, 4% de sa population de la ville la quitte mais 200 personnes s'y installent. En 2024, il y a 10000 habitants dans cette ville.
On note $u_n$ la population de la ville l'année $2024+n$.

1. Que vaut $u_0$ ?

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.

3. Déterminer la relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

4. Utiliser la calculatrice ou un logiciel pour obtenir les premiers termes de la suite.

5. Quelles semblent être les variations de la suite $(u_n)$ ?

6. Proposer un algorithme qui permet de connaître la population de la ville en 2050.

7. Proposer un algorithme qui permet de savoir en quelle année la population de la ville sera inférieure à 5200 habitants.

L’accès internet chez les particuliers peut se faire encore aujourd’hui en ADSL.
Cette liaison utilise les câbles téléphoniques pour relier le particulier au DSLAM (répartiteur du fournisseur d’accès choisi). La puissance du signal dépend de l’atténuation engendrée par les longueurs de câbles téléphoniques, la puissance du signal diminue de 29.2 % par tronçon de 100 mètres de câbles.

On appelle $P_0$ la puissance disponible au répartiteur (DSLAM).

1. 1. Exprimer la puissance $P_1$ disponible après un tronçon de 100 mètres de câble en fonction de $P_0$.

   2. Vérifier que la proportion de puissance disponible après 2 tronçons de câbles de 100 mètres est égale à 50.1% (valeur arrondie à 0.1 près).

   3. Déterminer la valeur arrondie à 0.1 près de la proportion de puissance disponible après 5 tronçons de câble de 100 mètres.

2. On note $P_n$ la puissance à la sortie de $n$ tronçons de câbles de 100 mètres, $n$ étant un entier naturel.

   1. Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ? Justifier.

   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$ et de $P_0$.

   3. En déduire la proportion de puissance disponible après 15 tronçons de 100 mètres.

3. On admet que pour tout entier naturel $n$, la suite $(P_n)$ est définie par : $P_n=P_0\times 0.708^n$.

   1. Quelle est la limite de la suite $(P_n)$ ?

   2. Justifier qu’il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur à $N$, on ait : $0.708^n\le 10^{-7}$.

   3. En utilisant un outil informatique, déterminer le plus petit entier $N$ tel que $0.708^N\le 10^{-7}$.

   4. Retrouver la réponse par un calcul algébrique.

   5. La limite d’éligibilité au service ADSL est telle que : $\dfrac{P_S}{P_E}=1\times 10^{-7}$, où $P_S$ désigne la puissance du signal chez le particulier et $P_E$ la puissance fourni par le DSLAM.
      Déterminer la distance théorique maximale de câblage entre le particulier et le DSLAM qui permette le fonctionnement de l’ADSL chez le particulier. (On donnera la valeur arrondie au mètre près.)