Une agence immobilière envisage de commercialiser un programme de construction d'appartements de luxe. Deux projets lui sont soumis :

Projet 1 : Pour $n$ entier et $2\leq n\leq 20$, le cout de production de $n$ appartements est donnée en millions d'euros par : $f(n)=ln(3,2n+1)$.

Projet 2 : Pour $n$ entier et $2\leq n\leq 20$, le cout de production de $n$ appartements est donnée en millions d'euros par : $g(n)=ln(0.4n^2+1)$.

Dans les deux cas, le prix de vente envisagé par appartement est de 500 000 euros. Le chiffre d'affaires prévisible par les ventes de $n$ appartements est donc $h(n)=0,5n$, en millions d'euros.

Etude du projet 1

1. Déterminer la fonction dérivée de $f$
2. Établir les variations de $f$.
3. Représenter $f$ sur géogebra. ( On complétera ce graphique par la suite , vous pourrez faire une capture d'écran à la fin.)

Etude du projet 2

1. Déterminer la fonction dérivée de $g$
2. Établir les variations de $g$.
3. Ajouter la courbe représentative de $g$ au graphique précédent.

1. Expliquer pourquoi $h(n)=0,5n$
2. A partir de géogébra : le nombre d'appartements correspondant au même cout de production pour les deux projets.
3. A partir de géogebra : le nombre maximal d'appartements dont on peut envisager la construction pour chacun des deux projets, si le cout de production est limité à 3 600 000 euros.
4. Avec xcas refaites les deux questions précédentes.

Bénéfices

On suppose que $n\geq 6$

1. Exprimer en fonction de $n$ les bénéfices avec les deux projets.
2. Préciser, selon les valeurs de $n$, le projet garantissant le bénéfice le plus élevé.
3. Préciser, pour chaque projet, les valeurs de $n$ pour lesquelles le bénéfice est au moins égal à 3 000 000 euros.