Un résumé de cours en version imprimable est téléchargeable ici.

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.

Dire que $b$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a=bk$.

On note $b|a$.

On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $a$ est un multiple de $b$.

Attention à ne pas confondre les symboles | et / :

Dans le premier cas, grammaticalement, le verbe diviser est au passif, tandis que dans le second, le verbe diviser est à l'actif.

  1. Montrer que $-8$ est un diviseur de $24$.

  2. Montrer que $24$ est un multiple de $8$.

  3. Soit $n\in\mathbb{Z}$, montrer que $n-1$ est un diviseur de $n^2-1$.

  4. Montrer que $1$ et $-1$ divisent tous les entiers relatifs.

  5. Montrer que tout entier relatif divise 0.

Code de déblocage de la correction :

Les seuls diviseurs de $1$ et $-1$ sont $1$ et $-1$.

  1. Transitivité : Si $c|b$ et $b|a$ alors $c|a$.

  2. Si $a|b$ et $b|a$ alors $|a|=|b|$.

  3. Si $c$ divise $a$ et $b$ alors, pour tout entier $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.

Démontrer chacun des points de la propriété précédente :

  1. Transitivité : Si $c|b$ et $b|a$ alors $c|a$.

    2. Code de déblocage de la correction :

  2. Si $a|b$ et $b|a$ alors $|a|=|b|$.

    3. Code de déblocage de la correction :

  3. Si $c$ divise $a$ et $b$ alors, pour tout entier $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.

    4. Code de déblocage de la correction :

On dit que qu'une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si les seuls diviseurs communs à $a$ et à $b$ sont $1$ et $-1$.

Nombres premiers

Un entier est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans $\mathbb{N}$ : 1 et lui-même.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.
$n$ est premier si, et seulement si, $n$ n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ autre que 1.

Pour démontrer cette propriété faites cet exercice.

Exercices

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Vrai ou Faux - justifier

  1. La somme de deux entiers pairs est un entier pair.

  2. Le produit de deux entiers impairs est un entier impair.

  3. La somme de deux entiers impairs est un entier impair.

  4. Le produit d'un entier pair par un entier impair est un entier pair.

  5. Le carré d'un entier impair est un entier impair.

Code de déblocage de la correction :

Les nombres amis

  1. Établir la liste des diviseurs positifs de 30 et calculer leur somme $s$.

    2. Code de déblocage de la correction :

  2. Établir la liste des diviseurs positifs de 140 et calculer leur somme $t$.

  3. Vérifier que $\frac{s}{t}=\frac{30}{140}$.

    4. Code de déblocage de la correction :

On dit alors que les entiers 30 et 140 sont amis.

Écrire une fonction en Python est_divisible(a,b) où a et b sont des entiers qui renvoie True si $b|a$ et False sinon.

on rappelle qu'en Python :

  1. b//a est la division entière de $b$ par $a$.
    Par exemple : $6//5$ renvoie $1$ et $13//2$ renvoie $6$.

  2. À ne pas confondre avec b/a la division de $b$ par $a$ !
    Par exemple : $6/5$ renvoie $1.2$ et $13/2$ renvoie $6.5$.

Vous pouvez utilisez trinket si votre IDE n'est pas fonctionnel.

Code de déblocage de la correction :

Démontrer que pour tout entier $n$, le nombre $n^3-n$ est un multiple de 6.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer les entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant $a^2-b^2=35$.

Code de déblocage de la correction :

On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$. Démontrer l'équivalence suivante : $$7|(2a+5b) \Longleftrightarrow 7|(5a+2b)$$

Code de déblocage de la correction :

Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n+8$ soit divisible par $n$.

Code de déblocage de la correction :

Les entiers $a$ et $b$ sont tels que : $a|5b+31$ et $a|3b+12$.

  1. Montrer que $a|33$.

  2. En déduire les valeurs possibles de $a$.

Code de déblocage de la correction :

Pour tout entier relatif $n$, on pose : $a_n=2n-1$ et $b_n=9n+4$.

  1. Déterminer un entier $k$ indépendant de $n$ tel que : Si $d$ divise $a_n$ et $b_n$, alors $d$ divise $k$.

  2. En déduire la liste des diviseurs communs éventuels $a_n$ et $b_n$.

  3. En déduire les diviseurs communs à 5117 et 23035. Quel est le PGCD de 5117 et 23035 ?

  4. De même, en déduire les diviseurs communs à 10233 et 46057. Quel est le PGCD de 10233 et 46057 ?

Code de déblocage de la correction :

Déterminer tous les couples $(x;y)$ d'entiers naturels tels que :

  1. $(x-4)(y+3)=4$.

  2. $x+y=xy$.

Code de déblocage de la correction :

on veut déterminer les entiers relatifs $n\ne -2$ tels que $\dfrac{2n-29}{n+2}$ soit un entier naturel impair.

  1. Montrer que si $n$ est solution alors $n+2$ divise 33.

  2. Établir la liste des diviseurs de 33 dans $\mathbb{Z}$.
    En déduire les valeurs possibles de $n$.

  3. Conclure.

Code de déblocage de la correction :

  1. Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise 3.

  2. En déduire que la fraction $\dfrac{12n+7}{3n+1}$ est irréductible.

Code de déblocage de la correction :

On définit, sur $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ la fonction $f$ par $f:x\longmapsto \dfrac{x^2-3x-2}{x-1}$.

  1. Déterminer les réels $a$,$b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.

  2. Soit $n$ un entier naturel distinct de 1. Pour quelle valeurs de $n$, $f(n)$ est un entier.

Code de déblocage de la correction :

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n} -1$ est un multiple de $8$.

Code de déblocage de la correction :

On pose, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $a_n=2^{3n}-3^n$.

  1. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$. Conjecturer l'existence d'un diviseur de $a_n$, pour $n\in\mathbb{N}^*$.

  2. Démontrer cette conjecture.

Code de déblocage de la correction :

Nombres premiers

Vrai ou Faux- Justifier

  1. Tout nombre premier est impair.

  2. Tout nombre impair est premier.

  3. Un nombre premier est un entier ayant exactement 4 diviseurs dans $\mathbb{Z}$.

  4. Si 2 divise l'entier $n$, alors $n$ n'est pas premier.

  5. Si deux entiers ont les mêmes diviseurs premiers, alors l'un est multiple de l'autre.

Code de déblocage de la correction :

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.

  1. On suppose que $n$ est premier. Justifier que 1 est le seul diviseur de $n$ inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.
    En déduire que $n$ n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. Réciproquement, supposons que $n$ n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ et montrons, en raisonnant par l'absurde, que $n$ est premier : on suppose donc que $n$ n'est pas premier.
    L'ensemble des diviseurs de $n$ ( dans $\mathbb{N}$ ) autres que 1 et $n$ étant non vide, il admet un plus petit élément $m$.

    1. Justifier que $m$ est premier.

      2. Code de déblocage de la correction :

    2. Justifier qu'il existe un entier $k$ tel que $1<m\leq k<n$ et $n=mk$.

    3. En déduire que $m^2\leq n$. Conclure.

      4. Code de déblocage de la correction :

Voici, dans un carré 12 sur 10, les naturels de 1 à 120 :

  1. Reproduire sur une feuille le carré de 12 sur 10 précédent.

  2. Barrer 1.

  3. Barrer tous les multiples de 2 sauf 2.

  4. Barrer tous les multiples de 3 sauf 3.

  5. Barrer tous les multiples de 5 sauf 5.

  6. Barrer tous les multiples de 7 sauf 7.

  7. Que peut-on dire des nombres non barrés ? Justifier.

  8. Pourquoi peut-on s'arrêter aux nombres multiples de 7 ?

  9. La méthode explicitée dans cet exercice s'apelle le crible d'Ératosthène.
    Réaliser une courte biographie d'Ératosthène (date, lieu de vie, principales découvertes scientifiques ,...)

Code de déblocage de la correction :

Soit $p$ un nombre premier.

  1. Démontrer que, si $p\ne 2$ alors $p^2-1$ est divisible par 4.

    2. Code de déblocage de la correction :

  2. Démontrer que, si $p\geq 5$ alors $p^2-1$ est divisible par 12. (On admettra que parmi 3 entiers consécutifs il y a exactement un multiple de 3).

    3. Code de déblocage de la correction :

Synthèse

Soit $P$ un polynôme de second degré à coefficients entiers défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.

On suppose que $b^2-4ac>0$.

  1. Démontrer que le produit des racines est $\frac{c}{a}$.

  2. En déduire que si $x_1$ est une racine entière de $P$, alors $x_1|c$.

  3. Sans la résoudre, préciser si l'équation $x^2-7x+3=0$ admet des solutions entières.

  4. Déterminer les polynôme de la forme $P(x)=ax^2+bx+6$ admettant deux racines entières dont l'une est 2.

Code de déblocage de la correction :

On souhaite démontrer la propriété suivante : "Pour tout entier naturel non nul $n$, $n^2$ divise $(n+1)^n-1$."

Soit $n$ un entier naturel non nul. On donne la formule du binôme de Newton valable pour tous réels $a$ et $b$ : $$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}a^{n-k}b^{k}.$$

  1. Développer $(n+1)^n$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. Exprimer ${n}\choose{n-1}$.

    Code de déblocage de la correction :

  3. En déduire la propriété énoncée.

    Code de déblocage de la correction :

On admet que ${{n}\choose{k}}$ est un nombre entier et qu'on poeut l'écrire ${{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ avec $n!=n\times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 2 \times 1$ et la convention $0!=1$.

Crible d'Eratosthène :

  1. Rendez-vous sur la page de wikipedia ici.

  2. Écrire la fonction eratos(n) où $n$ est un entier naturel qui renvoie la liste de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$.

    1. La méthode liste.append(k) permet d'ajouter àune liste nommée liste l'élément k en dernière position.

      Pour la liste L=[4,5,2,1,5], l'instruction L.append(3) augmente la liste L en [4,5,2,1,5,3].

    2. La méthode liste.remove(k) permet de supprimer le premier élément d'une liste nommée liste valant k.

      Pour la liste L=[4,5,2,1,5], l'instruction L.remove(5) réduit la liste L en [4,2,1,5].

    3. Pour balayer tous les éléments d'une liste L, il suffit d'utiliser la boucle répétitive for elt in L:

    4. Le reste de la division euclidienne d'un nombre a par un nombre b est donné par a%b.

    3. Code de déblocage de la correction :

  3. En utilisant cette propriété, améliorez votre code.

    Importer de la bibliothèque math la fonction sqrt en utilisant par exemple le code from math import sqrt.

    4. Code de déblocage de la correction :

Félicitations ! Les services secrets français vous ont repéré.e.s au vu de vos qualité en mathématiques !
Votre première mission est de permettre le démantelement d'un réseau international de narcotraficants.

Les sercices secrets, travaillant avec d'autres services étrangers, ont réussi à repérer une villa qui doit surement servir comme centre décisionnel à un réseau international.
Grâce à un agent infiltré dans le réseau, vous savez que dans une pièce de cette villa est encastré un coffre contenant surement différents documents intéressants sur le réseau.

Au vu de l'importance présumée des documents contenus dans le coffre, un commando doit intervenir discrètement pour pénêtrer dans la villa, accéder au coffre, photographier les documents contenus puis sortir sans être repéré.
Il est essentiel que l'action se fasse le plus rapidement possible.

Votre mission : trouver le code permettant d'ouvrir le coffre !
Ce code sera transmis au commando qui interviendra le jour où les conditions de réussite de l'opération seront juguées optimales.

Voici les informations que les services secrets français possèdent et vous transmettent :

  1. D'après les informations obtenues grâce à l'agent infiltré, le coffre possède un code à 4 chiffres qui permet de l'ouvrir mais ce code est changé chaque jour par le chef présumé du réseau. Il paraît donc difficile de se le procurer.

  2. Le modèle du coffre a permis de contacter discrètement l'entreprise qui a construit le coffre.
    Vous avez pu apprendre qu'un double mécanisme ferme le coffre ; chacun lié à un nombre.

    • En notant $n$ le nombre à 4 chiffres saisi pour essayer d'ouvrir le coffre, le premier mécanisme se débloque par la connaissance de $359n+2021$,

    • le second mécanisme se débloque par la connaissance de $537n-460$.

  3. L'entreprise vous informe aussi qu'elle possède un moyen d'ouvrir les coffres en cas d'oubli du code secret de la part du client. Il suffit de saisir le plus grand nombre premier possible qui peut diviser à la fois $359n+2021$ et $537n-460$, où $n$ est un nombre qui peut être saisi par le client.

Quel nombre transmettre au commando ?
Comme la vie des membres du commando est peut-être mise en jeu, votre chef d'équipe exige que vous prouviez votre réponse afin de le convaincre.

Code de déblocage de la correction :

Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x;y;z)$ tels que $x^2+y^2=z^2$.
Ces triplets sont nommés triplets pythagoriciens, en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés.

$(3;4;5)$ est un triplet pythagoricien car $3^2+4^2=5^2$.

Partie A : Généralités sur les triplets pythagoriciens

  1. Démontrer que si $(x;y;z)$ est un triplet pythagoricien, alors pour tout entier naturel $p$ non nul, $(px;py;pz)$ est aussi un triplet pythagoricien.

  2. Démontrer que si $(x;y;z)$ est un triplet pythagoricien, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs.

    1. Démontrer par récurrence que la propriété $P(n)$ : "Tout entier naturel compris entre 1 et $n$ peut s'écrire sous la forme $2^a\times k$, avec $a\in\mathbb{N}$ et $k$ un entier impair." est vraie pour tout entier naturel non nul $n$.

    2. Démontrer que tout entier naturel $n$ peut s'écrire de manière unique sous la forme $n=2^a\times k$, avec $a$ un entier naturel et $k$ un nombre entier impair.

    3. Déterminer la décomposition sous forme $2^a\times k$ des entiers 2023 et 2024.

    1. Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls dont les décompositions sont $x=2^a\times k$ et $z=2^b\times m$.
      Écrire la décomposition des entiers naturels $2x^2$ et $z^2$.

    2. En examinant l'exposant de 2 dans la décomposition de $2x^2$ et dans celle de $z^2$, montrer qu'il n'existe pas de triplets d'entiers naturels non nuls $(x;x;z)$ tels que $x^2+x^2=z^2$.

    3. Justifier que tout triplet pythagoricien $(x;y;z)$ est formé de trois entiers naturels non nuls distincts deux à deux et que l'on peut supposer que $x\lt y\lt z$.

Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant 2023

    1. Compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie la liste formée par l'ensemble des triplets pythagoriciens de la forme $(x;y;17)$, avec $x\lt y\lt 17$.

      Essayer de faire en sorte de limiter le nombres de répétitions effectuées en tout. 

      Lsol = []
for x in range(...):
    for y in range(...):
        if ...:
            ...
print(Lsol)

    2. Vérifier le ou les triplets pythagoriciens conjecturés grâce au programme précédent.

    3. Justifier que 17 divise 2023.

    4. En déduire l'existence d'un triplet pythagoricien de la forme $(x;y;2023)$, où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels non nuls à exhiber tels que $x\lt y\lt 2023$.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2$, égalité attribuée à Pythagore d'après le philophe Proclus. (source).

    2. En déduire l'existence d'un triplet pythagoricien de la forme $(2023;y;z)$ avec $2023\lt y\lt z$.

    1. Justifier que 7 divise 2023.

    2. En déduire la décomposition de 2023 sous forme de produit de nombres premiers.

    3. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls $(x;z)$ tels que $z^2-x^2=2023^2$.

    4. Déterminer l'ensemble des triplets pythagoriciens de la forme $(x;2023;z)$, avec $x\lt 2023\lt z$ ainsi que l'ensemble des triplets pythagoriciens de la forme $(2023;y;z)$, avec $2023\lt y\lt z$.

  4. Déterminer l'ensemble des triplets pythagoriciens contenant 2023.

Code de déblocage de la correction :

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