Infinité des nombres premiers

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est divisible par un nombre premier.

Démontrer la propriété 1 par récurrence.
On notera $(P_n)$ : "Tout entier naturel compris entre 2 et $n$ admet un diviseur premier."

Code de déblocage de la correction :

Il y a une infinité de nombre premier.

Démontrer la propriété 2.

Raisonner par l'absurde qu'il y a un nombre fini de nombres premiers. Notons $n$ l'effectif de ces nombres.

On peut noter alors $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ les nombres premiers.

On considérera le nombre $m=p_1\times p_2\times...\times p_n+1$

Code de déblocage de la correction :

Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.

Autrement dit :

Pour tout entier naturel $n\geq 2$ , ils existent $k$ nombres premiers : $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$ et k entiers naturels :$\alpha_1$, $\alpha_2$, ..., $\alpha_k$ tels que $$n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$$

Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Ce théorème est parfois appelé le théorème fondamental de l'arithmétique.

Ce théorème signifie qu'il y a l'existence d'une telle décomposition puis aussi son unicité.
La démonstration doit donc se faire en deux temps.

  1. Existence :
    Démontrer l'existence par récurrence.
    On notera $(P_n)$ : "Tout entier naturel compris entre 2 et $n$ se décompose en produit de facteur premier."

  2. Unicité :
    Démontrer l'unicité.

    On pourra supposer qu'il y a deux décompositions et ordonner les facteurs premiers. Il suffit de comparer les exposants apparaissant dans chaque décomposition.

Code de déblocage de la correction :

Pour décomposer un nombre $n$, par exemple 750, en produit de nombres premiers, il suffit :

  1. Décomposer en produit de nombres premiers les nombres suivants :

    1. 96.

    2. 1089.

    3. 10920.

  2. En déduire une simplification de la fraction $\dfrac{96}{10920}$.

Code de déblocage de la correction :

Utilisation

Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : $n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$ (les $p_i$ sont des nombres premiers distincts et les exposants $\alpha_i$ sont des nombres entiers naturels non nuls).

Le nombre de diviseurs de $n$ est égal à $(\alpha_1+1)\times (\alpha_2+1) \times ... \times (\alpha_k+1)$.

Démontrer cette propriété.

Code de déblocage de la correction :

Pour déterminer la liste des diviseurs d'un nombre, il suffit de :

Exemple : obtenir l'ensemble des diviseurs de $18$ :

$18=2\times 3= 2^1\times 3^2$.

Ainsi, $18$ possèdent $6$ diviseurs : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

  1. Déterminer le nombre de diviseurs de 1400.

  2. Déterminer l'ensemble des nombres divisant 1400.

Code de déblocage de la correction :

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls.

On appelle Plus Petit Commun Multiple de $a$ et de $b$ le plus petit des multiples communs positifs de $a$ et de $b$.
On le note PPCM(a;b).

Un tel nombre existe car l'ensemble des nombres entiers positifs multiples de $a$ et de $b$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ (car contenant le nombre $ab$) : cet ensemble admet donc un minimum.

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$.
Quitte à considérer des exposants nuls, on peut supposer que $a$ et $b$ peut être décomposer sous forme de produit de facteurs premiers comme suivant :
$a=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$
$b=p_1^{\beta_1}\times p_2^{\beta_2}\times ...\times p_k^{\beta_k}$
(les $p_i$ sont des nombres premiers distincts et les exposants $\alpha_i$ et $\beta_i$ sont des nombres entiers naturels éventuellement nuls).

On a alors :

  1. $PGCD(a;b)=p_1^{min(\alpha_1;\beta_1)}\times p_2^{min(\alpha_2;\beta_2)}\times ...\times p_k^{min(\alpha_k;\beta_k)}$

  2. $PPCM(a;b)=p_1^{max(\alpha_1;\beta_1)}\times p_2^{max(\alpha_2;\beta_2)}\times ...\times p_k^{max(\alpha_k;\beta_k)}$

Déterminer le PGCD et le PPCM des entiers 7514 et 2873.

Code de déblocage de la correction :

Démontrer que pour tout entier naturel non nul $a$ et $b$ : $PGCD(a;b)\times PPCM(a;b)=a\times b$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

  1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres 1960 et 1120.

  2. En déduire le forme irréductible de la fraction $\dfrac{1120}{1960}$.

Code de déblocage de la correction :

  1. Décomposer $900^{900}$ est produit de nombres premiers.

  2. En déduire le nombre de diviseurs de $900^{900}$.

  3. Démontrer qu'il existe un nombre entier admettant au moins mille milliards de diviseurs.

  4. Soit $n$ un entier strictement positif.
    On note $d$ le nombre de diviseurs premiers de $n$.
    Démontrer que $\ln(n)\ge d \times \ln(2)$.

Code de déblocage de la correction :

  1. Décomposer 255 en produit de nombres premiers.

  2. Déterminer les solutions entières naturels de l'équation $(n-1)(n+2)=255$.

  3. Déterminer les solutions entières naturels de l'équation $3n^2+6n-105=255$.

  1. Compléter la fonction diviseurs suivante de sorte qu'elle renvoie la liste des diviseurs du nombre n saisi comme argument de la fonction. 

    def diviseurs(n):
    lst = ... 
    for i in range(...):
        if n%i == 0:
            lst.append(...)
    return lst

  2. Compléter la fonction est_premier suivante de sorte qu'elle renvoie True dans le cas où le nombre n saisi comme argument de la fonction est un nombre premier et False dans les autres cas.
    Cette fonction utilise la fonction diviseurs précédente. 

    def est_premier(n):
    boole = ... 
    if len(diviseurs(n)) ...:
        boole = ...
    return boole

  3. Compléter la fonction liste_facteurs_premiers suivante de sorte qu'elle renvoie la liste des facteurs premiers du nombre n saisi comme argument de la fonction.
    Cette fonction utilise la fonction est_premier précédente. 

    def liste_facteurs_premiers(n):
    lst = ... 
    for i in range(...):
        if est_premier(...):
            if n%i ... 0:
                ...
    return lst

  4. Utiliser les fonctions précédentes pour décomposer le nombre $n=184796292581038600$ en produit de nombres premiers.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels non nuls $n$ et $m$ tels que $PGCD(m;n)=12$ et $PPCM(m;n)=60$.

On désigne par $d(n)$ le nombre de diviseurs strictement positifs de l’entier $n$.
Montrer que $d(n)$ est impair si, et seulement si, $n$ est un carré.

Code de déblocage de la correction :

Combien de zéros faut-il écrire de sorte que le nombre $n=900...0$ admette exactement 108 diviseurs ?

Savoirs et savoir-faire


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