Le but de cet exercice est de montrer le sens réciproque du théorème précédent : si $z=z'$ alors $Re(z)=Re(z')$ et $Im(z)=Im(z')$.

On note $x+iy$ et $x'+iy'$ les formes algébriques des nombres complexes $z$ et $z'$ respectivement.

On suppose que $x+iy=x'+iy'$.

1. Démontrer grâce à un raisonnement par l'absurde que $y=y'$.( on cherchera à exprimer $i$ en fonction de $x$, $x'$, $y$ et $y'$.)

2. En déduire que l'on a aussi $x=x'$.

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1.

1. $z$ est un nombre complexe quelconque. Développer $(1+z)^n$.

2. Choisir une valeur adaptée de $z$ afin d'en déduire en fonction de $n$ expression de la somme : $\displaystyle S=\binom{n}{0}+4\binom{n}{1}+4^2 \binom{n}{2}+...+4^n \binom{n}{n}$.

$x$ et $y$ sont deux nombres réels. Quelle est la forme algébrique de $(x+1+iy)(x-1-iy)$.

$z$ est un nombre complexe. Dans chacun des cas suivants, précisez si $Z$ est réel ou imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre.

1. $Z=z+\bar{z}-3i$

2. $Z=z-\bar{z}+5i$

3. $Z=z\bar{z}-z+\bar{z}$

4. $Z=\bar{z}(z+i)+i(5i-z)$

On note $z=x+iy$, $x$ et $y$ réels.On pose : $$Z=\dfrac{z-1}{z+1}, z\ne-1$$ Quelle est la forme algébrique de $Z$ ?

On considère les deux sommes suivantes :

1. Développer l'expression $(x+1)^n$ en utilisant la formule du binôme de Newton.

2. Calculer la somme $A+B$, sans chercher à connaître ni $A$, ni $B$.

3. De même, calculer la différence $A-B$.

4. En déduire les valeurs de $A$ et de $B$.

Découverte de quelques instructions natives en Python

1. Tester les instructions suivantes dans la partie console et comprendre le rôle de chacune :

   1. >>> z1 = complex(4, 7)
      >>>z1
                                  

   2. >>> z1.conjugate()
                                  

   3. >>> z1.real
                                  

   4. >>> z1.imag
                                  

   5. >>> z2 = complex(1, -3)
      >>>z2
                                  

   6. >>> z1+z2
                                  

   7. >>> z1/z2
                                  

   8. >>> z2**5
                                  

2. Quelles remarques peut-on faire sur l'affichage sous Python d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique ?

Utilisation de quelques instructions en Python

On considère les nombres entiers $n$ compris entre -10 et 10.
On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $n$ le nombre complexe $(3n+i)(-75+in)$ est un nombre réel.

1. Compléter la fonction solution ci-dessous afin qu'elle renvoie la liste L, qui contiendra la liste des entiers $n$ compris entre -10 et 10 qui correspondent au problème.

   def solution():
       L = []
       for ......
                           

   Pour ajouter un élément elt à la fin d'une liste liste, il suffit d'utiliser la méthode append avec le script : liste.append(elt)

2. Utilisez Edupython (ou le Trinket ci-dessous) pour tester la fonction complétée et donner les valeurs de $n$ qui semblent convenir.

3. Retrouver le résultat algébriquement.

On considère la fonction developper ci-dessous :

def developper(a,b):
    S = 0
    L = [1, 4, 6, 4, 1]
    for k in range(5):
        S = S + L[k] * a**k * b**(4-k) 
    return S                                        

1. 1. Que représente les termes de la liste L ?

   2. Déterminer l'expression de S en fonction de $a$ et de $b$.

   3. Quelle valeur renvoie la fonction pour $a=1$ et $b=i$ ?

2. Ilane a testé la fonction et a obtenu le résultat suivant :

   >>>developper(5, complex(0, 3))
   (-644+960j)

   Quelle égalité mathématique peut-elle écrire ?

Une suite complexe qui aime l'arithmétique.
On considère la suite $(z_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} z_0=0\\ z_{n+1}=i z_n-4 \textrm{, pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.$

1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$ , $z_2$ et $z_3$.

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n=a_n+ib_n$ où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ la partie imaginaire de $z_n$.

   1. Donner la valeur de $a_0$, $b_0$, $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$.

   2. Soit $n\in\mathbb{N}$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

   3. Compléter le script de la fonction z. L'appel z(50) doit renvoyer un couple de valeurs correspondant à $a_{50}$ et $b_{50}$, les termes d'indice $50$ des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

      def z(n):
          """
          n : de type entier
          renvoie un couple de valeurs correspondant à la partie réelle et imaginaire du terme d'indice n de la suite z
          """
          a = ...
          b = ...
          for i in range(...):
              ... 
      
          return a, b                            
      
      print(z(...))           

      Pour rappel :

      • L'instruction for i in range(5): permettra à i de prendre les valeurs de 0 à 4.
        En fait 5 valeurs, en commençant par 0 et en incrémentant de 1.

      • Le test d'égalité a == b renvoie True si le contenu des variables a et b sont égaux et False sinon.

   4. Que peut-on dire des termes de la suite $(z_n)$?

3. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $z_n=(2+2i)i^n-2-2i$.

4. Démontrer l'affirmation faite en 2.d.

Le quadripôle représentée ci-dessous est constitué d'un résistor de résistance $R$, en $\Omega$, et d'un condensateur de capacité $C$, en $\mu F$.

On associe respectivement à la tension d'entrée et à la tension de sortie les nombres complexes $v$ et $s$. On appelle transmittance le nombre complexe $Z$ défini par $Z=\dfrac{s}{v}$.

On admet que $\displaystyle Z=\dfrac{1}{1+jRC\omega}$, où $\omega$ désigne la pulsation exprimée en radian par seconde et $j$ un nombre complexe tel que $j^2=-1$.

On suppose dans cet exercice que : $R=50 \Omega$, $C=2 \mu F$ et $\omega=\dfrac{1}{100} rad.s^{-1}$.

1. Déterminer la forme algébrique de $Z$.

2. On suppose que $v=150(-\sqrt{3}+j)$. Déterminer la forme algébrique de $s$.

On a prolongé dans $\mathbb{C}$ l'addition et la multiplication que vous pratiquiez déjà avec des nombres réels.

En utilisant le produit $i \times i$, expliquez pourquoi on ne peut pas comparer des nombres complexes comme on le fait dans $\mathbb{R}$ en restant compatible avec l'addition et la multiplication.

On considère le nombre $j=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} i$ et un entier naturel $n$.

On souhaite étudier les nombres $j^n$.

1. Calculer les valeurs de $j^2$, $j^3$ et $j^4$.

2. 1. Compléter la fonction suivante afin qu'elle renvoie la liste des entiers positifs $m$ inférieurs ou égaux à un entier $n$ tels que le nombre $j^m$ soit réel.

      from math import sqrt
      def liste_reel(n):
          j = complex(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)
          L = []
          for .........................
              ...
              ...
          return L
       

      1. Pour rajouter un élément elt en fin d'une liste liste, il suffit de saisir en Python liste.append(elt).

      2. N'hésitez pas à utiliser les méthodes sur les nombres complexes vues à l'exercice 39.

      3. Du fait de la présence du nombre irrationnel $\sqrt{2}$, le moteur Python travaillera avec une valeur approchée de $\sqrt{2}$ et non la valeur exacte.
         Dès lors un test d'égalité avec 0 n'a pas de sens.
         Plutôt qu'un test du type a == 0, il faudra préférer un test d'approximation du type a<=0.0000000001 and a>=-0.0000000001.

   2. Tester la fonction pour $n=10$, puis pour $n=20$, enfin pour d'autres valeurs de $n$.

   3. Que peut-on conjecturer quant aux valeurs de $n$ pour lesquelles $j^n$ est un nombre réel ?

3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant après avoir calculé la forme algébrique de $j^n$ correspondante :

      Valeur de $n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
      Forme algébrique de $j^n$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$

   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $j^{n+8}=j^n$.

   3. Démontrer la conjecture émise à la question 2.c.

4. Déterminer pour quelles valeurs de $n$, le nombre $j^n$ est un imaginaire pur.

5. 1. À l'aide de la formule du binôme de Newton, démontrer l'égalité : $\displaystyle j^n=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} \times \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} i^k$.

   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $\displaystyle \sum_{k=0}^{8n}\binom{8n}{k} i^k= 16^{n}$.

   3. En déduire la valeur exacte de : $\displaystyle \sum_{k=0}^{2024}\binom{2024}{k} i^k$.

Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 0.
On définit la suite $(z_n)$ de nombres complexes par $z_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=a\times z_n-i$.

1. 1. Exprimer les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ en fonction du nombre complexe $a$.

   2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $z_n=\dfrac{1-a^n}{a-1}\times i$.

2. Dans cette question uniquement, on suppose que $a=1+i$.
   Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle z_n=1-\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} i^k$.

Dans toute la suite, on travaille avec comme nombre complexe particulier $a=i$.

3. 1. Compléter la fonction suivante afin qu'elle renvoie la liste des termes de la suite $(z_n)$ lorsque $n$ est compris entre $0$ et $m$.

      def liste_termes(m):
          i = complex(0,1)
          z = 0
          L = []
          for .........................
              ...
              ...
          return L 

      1. Pour rajouter un élément elt en fin d'une liste liste, il suffit de saisir en Python liste.append(elt).

      2. N'hésitez pas à utiliser les méthodes sur les nombres complexes vues à l'exercice 39.

   2. Tester la fonction pour $m=10$, puis pour $m=20$.

   3. Quelle conjecture pouvez-vous énoncer quant aux valeurs des termes de la suite $(z_n)$ ?

4. 1. Calculer à la main la valeurs des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+4}=z_n$.

5. On munit le plan d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.
   On pose, pour tout entier naturel $n$, $z_n = x_n+i y_n$, où $x_n=Re(z_n)$ et $y_n=Im(z_n)$.
   On appelle $P_n$ les points de coordonnées $(x_n ; y_n)$.
   Placer les points $P_0$ à $P_7$ dans le repère, puis le point $P_{2022}$ en justifiant la position de ce dernier point.

On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $N=a^2+b^2$.

1. Proposer une fonction nommée est_carre qui permet de savoir si un entier naturel $N$ est somme deux carrés ; cette fonction renverra le booléen True dans le cas où l'argument $N$ saisi est bien un carré de deux entiers et False sinon.

2. On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont somme de deux carrés alors leur produit $N_1 N_2$ est aussi somme de deux carrés.

   Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$ et on introduit $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$.

   1. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et de $z_2$ ?

   2. En déduire que $N_1 N_2$ est somme de deux carrés.

3. Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est aussi somme de deux carrés.

Lors d'une réception d'un signal émis par un satellite, il apparaît une perte d'anergie dues aux impédances de la parabole et du câble coaxial.

On mesure cette perte par le coefficient de réflexion $R$ défini par $R=\dfrac{z-z'}{z+z'}$, où $z$ est l'impédance complexe de la parabole et $z'$ l'impédance complexe du câble coaxial.

Lorsque $R$ s'écrit sous la forme algébrique $a+ib$, on définit $p=\sqrt{a^2+b^2}$.

1. 1. Montrer que si une installation fournit comme impédances $z=75$ et $z'=46.6-20.3i$, alors on obtient $p=0.28$.

      Le Rapport d'Onde Stationnaire ($ROS$) est défini par le rapport : $ROS=\dfrac{1+p}{1-p}$. Calculer le $ROS$ pour cette installation.

      Pour respecter la norme imposée, le $RSO$ doit être inférieur à 2. L'installation est-elle conforme ?

2. Dans le cas général, pour toute installation, on admet que $p$ est compris entre 0 et 1. Quelle est la valeur maximum de $p$ qui respecte la norme imposée ?

On considère le nombre $j=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ et un entier naturel $n$.

On souhaite étudier les nombres $j^n$.

1. Calculer les valeurs de $j^2$, $j^3$ et de $j^4$.

2. 1. Compléter la fonction suivante afin qu'elle renvoie la liste des entiers positifs $m$ inférieurs ou égaux à un entier $n$ tels que le nombre $j^m$ soit réel.

      from math import sqrt
      def liste_reel(n):
          j = complex(1/2,-sqrt(3)/2)
          L = []
          for .........................
              ...
              ...
          return L
       

      1. Pour rajouter un élément elt en fin d'une liste liste, il suffit de saisir en Python liste.append(elt).

      2. N'hésitez pas à utiliser les méthodes sur les nombres complexes vues à l'exercice 39.

      3. Du fait de la présence du nombre irrationnel $\sqrt{3}$, le moteur Python travaillera avec une valeur approchée de $\sqrt{3}$ et non la valeur exacte.
         Dès lors un test d'égalité avec 0 n'a pas de sens.
         Plutôt qu'un test du type a == 0, il faudra préférer un test d'approximation du type a<=0.0000000001 and a>=-0.0000000001.

   2. Tester la fonction pour $n=20$, puis pour $n=40$, enfin pour d'autres valeurs de $n$.

   3. Que peut-on conjecturer quant aux valeurs de $n$ pour lesquelles $j^n$ est un nombre réel ?

3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant après avoir calculé la forme algébrique de $j^n$ correspondante :

      Valeur de $n$	0	1	2	3	4	5	6
      Forme algébrique de $j^n$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$

   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $j^{n+6}=j^n$.

   3. En déduire la valeur exacte de $j^{2023}$.

   4. Démontrer la conjecture émise à la question 2.c.

4. 1. À l'aide de la formule du binôme de Newton, démontrer l'égalité : $\displaystyle j^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \times \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left(-\sqrt{3}i\right)^k$.

   2. En déduire que pour tout entier naturel $p$ : $\displaystyle \sum_{k=0}^{6p}\binom{6p}{k} \left(-\sqrt{3}i\right)^k = 64^{p}$.