Voici un rappel (ou un complément) du programe de spécialité mathématiques de première sur les fonctions trigonométriquyes et le cercle trigonométrique.
Définitions
On peut "enrouler" l'axe des réels autour d'un cercle de rayon 1, comme l'illustre l'animation ci-dessous :
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On appelle cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ le cercle de centre $O$, de rayon $1$, pour lequel on choisit pour sens direct le sens inverse des aiguilles d’une montre.
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À tout nombre réel $x$, on associe le point unique $M$ du cercle $\mathcal{C}$ tel qu’une mesure, en radians, de l’angle orienté $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ soit $x$.
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Soit $x$ un réel et soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ tel que $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})=x$.
Le point $M$ a pour abscisse $\cos(x)$ et pour ordonnées $\sin(x)$.
Comme un tour complet du cercle trigonométrique correspond à un angle de $2\pi$ (radians), si une mesure de $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ est $x$ alors les autres mesures sont : $x+k 2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
Pour tout réel $x$ :
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$-1\le \cos(x) \le 1$.
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$-1\le \sin(x) \le 1$.
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$(\cos(x))^2+(\sin(x))^2 = 1$.
Valeurs à connaître par coeur
En utilisant la relation $(\cos(x))^2+(\sin(x))^2 = 1$, on peut démontrer les valeurs suivantes :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
À partir de ces valeurs, on peut déduire l'ensemble des valeurs remarquables à connaître au lycée sur le cercle trigonométrique :
Cercle complet à connaître par coeur :
Exercices
De mémoire, construire le cercle trigonométrique complet précis sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$ où appraissent à la fois les angles remarquables $x$ et les valeurs correspondantes $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
Utiliser le cercle trigonométrique afin de résoudre les équations suivantes sur $[-\pi ;\pi]$ :
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$\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
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$\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
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$2(\sin(x))^2=1$
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$2(\sin(x))^2-\sqrt{3} \sin(x)-3=0$
Poser $X=\sin(x)$ afin de se ramener à une équation du second degré.
Après avoir résolu cette équation en $X$, penser à en déduire les valeurs possibles de l'inconnue $x$. -
$\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
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$(2\sin(x)+1)(\sqrt{3}-2\cos(x))=0$
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$4(\cos(x))^2-1=0$
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$4(\cos(x))^2-\sqrt{6}=2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \cos(x)$
Démontrer que $\sqrt{20+8\sqrt{6}}=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$.
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$(\cos(x)+1)\cos(x)\sin(x)=0$
Une scène de concert comporte un arc permettant de placer des projecteurs à différents points de cet arc.
Le projecteur A se trouve à la position formant un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l’horizontale.
À quelle hauteur se situent les projecteurs A et C dans la scène ?
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