Voici un exemple d'utilisation de la contraposée pour démontrer la proposition suivante : "Soit $x$ un nombre réel. Si $x^3=7$, alors $x\lt 2$.".

Étape 1 : écrire la contraposée de la proposition
La contraposée de la proposition "Si $x^3=7$, alors $x\lt 2$" est "si $x\ge 2$, alors $x^3\neq 7$".

Étape 2 : prouver que la contraposée est vraie
Si $x\ge 2$, alors si $x^3\ge 2^3$ puisque la fonction cube est croissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
Comme $x^3\ge 8$, forcément $x^3\neq 7$".
On a ainsi prouver que "si $x\ge 2$, alors $x^3\neq 7$".

Étape 3 : conclure
Comme l'affirmation "si $x\ge 2$, alors $x^3\neq 7$" est vraie, sa contraposée "Si $x^3=7$, alors $x\lt 2$." est elle aussi vraie.

Voici un exemple de mise en oeuvre de ce raisonnement en essayant de prouver l'affirmation suivante :
"0 n'a pas d'inverse".

Étape 1 : supposer comme vraie le contraire de l'affirmation
On suppose ici que 0 admet un nombre réel inverse, noté ici $a$.
Cela signifie par définition de l'inverse que $a\times 0 = 1$.

Étape 2 : déduire des conséquences pour aboutir à une contradiction
$1=a\times 0$.
Comme $0=0+0$, on en déduit que $1 = a\times (0+0)$, soit en développant $1=a\times 0 +a \times 0$.
Or, $a\times 0 = 1$, donc, en remplaçant dans le second membre, on en déduit que $1=1+1$.
On aboutit à $1=2$. Ceci est évidemment impossible, une contradiction avec ce que vous savez comme vrai.

Étape 3 : conclure en citant le raisonnement utilisé
Comme l'hypothèse de départ "0 admet un nombre réel inverse" aboutit à une contradiction, cette hypothèse est fausse.
Dès lors, son contraire est vrai, c'est-à-dire "0 n'admet pas d'inverse".
On a prouvé en utilisant le raisonnement par l'absurde que "0 n'a pas d'inverse".

Voici un exemple d'utilisation de la disjonction de cas pour démontrer la proposition suivante :
"Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-2;1]$, $0\le |x| \lt 2$".

Étape 1 : séparer en plusieurs cas disjoints dont la réunion correspond à l'ensemble des cas possibles
L'intervalle $]-2;1]$ est découpé en deux intervalles : $]-2;0]$ et $]0;1]$. Il y a donc deux cas à étudier.

Étape 2 : étudier chaque cas séparément

1. Cas où $x\in ]-2;0]$ :
   Si $x\in ]-2;0]$ alors $-2 \lt x \le 0$. En multipliant par $-1$ négatif, on a : $2 \gt -x \ge 0$.
   Comme $x\le 0$, $|x|=-x$, on déduit donc de $2 \gt -x \ge 0$ que $0\le |x| \lt 2$.
   On a donc prouvé dans ce cas que $0\le |x| \lt 2$.

   On aurait aussi pu utiliser ici les variations de la fonction valeur absolue sur $]-2;0]$.

2. Cas où $x\in ]0;1]$ :
   Si $x\in ]0;1]$ alors $0 \lt x \le 1$.
   Comme $x\ge 0$, $|x|=x$, on déduit donc de $0 \lt x \le 1$ que $0\lt |x| \le 1$.
   A fortiori, on a donc : $0\le |x| \lt 2$ car $]0;1]\subset [0;2[$
   On a donc prouvé dans ce cas que $0\le |x| \lt 2$.

Étape 3 : conclure
Comme dans chacun des cas possibles pour $x$, on a bien $0\le |x| \lt 2$, on a prouvé par disjonctions de cas que : "Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-2;1]$, $0\le |x| \lt 2$".

Voici un exemple de mise en oeuvre de ce raisonnement en essayant de prouver la proposition suivante :
"Soit $x>0$. $x^2>x \iff x>1$".

Étape 1 : Prouver une des implications
On suppose ici que $x>1$. Le but de montrer que $x^2>x$.
Comme $x>1$, $x$ est positif, donc en multipliant chaque membre de l'inégalité par $x$, on en déduit que : $x\times x>1\times x$.
Ainsi, on a prouvé le "sens réciproque" : "si $x>1$ alors $x^2>x$".

Étape 2 : Prouver l'implication réciproque
On suppose ici que $x^2>x$, avec $x>0$. Le but de montrer que $x>1$.
Montrons ici que la contraposée de cette implication est vraie, c'est-à-dire que "si $0\lt x \le 1$ alors $x^2\le x$".
Comme $0\lt x \le 1$, $x$ est positif, donc en multipliant chaque membre de l'inégalité par $x$, on en déduit que : $0\lt x\times x \le 1\times x$.
Ainsi, on a prouvé que "si $0\lt x \le 1$ alors $x^2\le x$".
La contraposée est donc elle aussi vraie soit pour $x\gt 0$ "si $x^2>x$ alors $x>1$." Ainsi, on a prouvé le "sens direct" : "si $x^2>x$ alors $x>1$".

Étape 3 : conclure
Comme on a prouvé que, pour $x\gt 0$, "si $x>1$ alors $x^2>x$" et sa réciproque "si $x^2>x$ alors $x>1$", on a montré par double implication que, pour $x\gt 0$, "$x>1 \iff x^2>x$".