Loi binomiale
- On dispose d'une expérience aléatoire avec uniquement deux issues,dont une des deux est appelé le succès avec une probabilité $p$.
Une entreprise de fonderie fabrique des pistons de moteur 2T. Pour chaque piston fabriquer il y a une probabilité de $0,03$ que le piston ne soit pas conforme et détruit.
Ici on considère que le succès est l'événement "le piston n'est pas conforme" avec $p=0,03$.
- On considère la variable aléatoire $X$ qui à chaque échantillon de taille $n$ donne le nombre de succès.\\ Une variable aléatoire une fonction qui à un événement associe un nombre.
On choisit un échantillon de $130$ pistons dans la production. La production est suffisamment importante pour que ces tirages soient considérés comme indépendants.\\ $n=130$.
On s'intéresse aux nombre de pistons non conformes dans la production.
- On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$( nombre de répétitions) et $p$(probabilité de succès). On note $X$ suit une loi $B(n;p)$.
Dans l'exemple, $X$ suit une loi $B(130;0,03)$.
Des événements importants
$X$ suit une loi $B(n;p)$.
- $"X=k"$: "il y a k succès".
- $"X\leq k$ : "il y a au plus k succès" : " il y a moins de k+1 succés"
- $"X>k$ : "il y a plus de k succès".
- $"X=2"$: "il y a 2 succès":"il y a deux pistons non conformes".
- $"X\leq 5$ : "il y a au plus 5 pistons non conformes" : " il y a moins de 6 pistons non conformes"
- $"X>5$ : "il y a plus de 5 pistons non conformes".
Espérance et écart-type
l'espérance notée $EX$ et l'écart-type notée $\sigma_{X}$ d'une variable aléatoire qui suit une loi $B(n;p)$ sont donnés par les formules:\\ $$EX=n\times p \textrm{ et } \sigma_{X}=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$$
Dans l'exemple $EX=130\times 0.03 =3,9$ et $\sigma_{X}=\sqrt{130\times 0,03 \times 0,97}=1,95$ à $10^{-2}$ près.
Loi binomiale et Xcas
- Pour calculer la probabilité de $"X=2"$ : $P(X=2)$ On écrit
binomial(130,2,0.03)
- Pour calculer la probabilité de $X\leq 5$ : $P(X\leq 5)$ on écrit
binomial_cdf(130,0.03,5)
- Pour calculer la probabilité de $X< 5$ : $P(X<5)=P(X\leq 4)$ on écrit
binomial_cdf(130,0.03,4)
- Pour calculer la probabilité de $5\leq X\leq 12$ : $P(5\leq X\leq 12)=$ on écrit :
binomial_cdf(130,0.03,5,12)
- Pour calculer la probabilité de $X\geq 5$ : $P(X\geq 5)=$ on écrit
binomial_cdf(130,0.03,5,130)
- Pour calculer la probabilité de $X> 5$ : $P(X> 5)=P(X\geq 6)$ on écrit :
binomial_cdf(130,0.03,6,130)
- Pour trouver le nombre de succès k pour que $P(X\leq k)=0,99$. On écrit :
binomial_icdf(130,0.03,0.99).
On s'intéresse, dans cet exercice, à la masse des pots de confitures produits dans une usine. On considère l'événement : « un pot a une masse inférieure à 490 grammes ». Une étude a permis d'admettre que la probabilité de cet événement est
$0, 2$.
- On prélève au hasard 20 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pots avec indépendance. On considère la variable aléatoire
X qui, à tout prélèvement de 20 pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490 grammes.
- X suit une loi binomiale, préciser les paramètres.
- Calculer l'espérance et la écart-type.
- calculer la probabilité de l'événement A « parmi les 20 pots, il y a exactement 2 pots de masse inférieure à 490 grammes ».
- calculer la probabilité qu'il y ait entre 1 et 3 pots de masses inférieures à 490 grammes.
- calculer la probabilité qu'il y ait au moins un pot de masse inférieure à 490 grammes.
- Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k)=0,99$.
Correction de l'exercice 1 du TP 15