Une classe compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés. On considère un entier positif ou nul $n$ et on note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles interrogées au cours de $n$ jours consécutifs.

1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Quelle est la probabilité que sur 10 jours consécutifs, soient interrogées 4 filles exactement ? au moins 4 filles ?
3. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit entre 10 et 14 jours pour $n=50$
4. Ici $n=50$. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,8$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $[3;13]$ par : $$f(x)=-2x+20-e^{-2x+10}.$$

1. 1. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
   2. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[3;13]$
   3. Établir les variations de $f$ sur $[3;13]$
   4. Calculer $\int_{3}^{13}f(x) dx$. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
2. Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle $[3 ; 13]$ par la fonction $f$.
1. Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l'euro.
On sait que la valeur moyenne d'une fonction sur$[a;b]$ est donnée par $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.}
3. Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.\\ Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable.

1. Déterminer les limites de $f$ en -1 et en $+\infty$.
2. Etablir le tableau de variation de $f$ sur $]-1;+\infty[$.
3. Déterminer une équation de la tangente en 0.
4. Résoudre $f(x)\geq 0$
5. Déterminer $\int_{1}^{2} f(x) dx$.
6. En déduire l'aire de la surface délimtiée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$ en u.a., vous donnerez votre réponse à 3 chiffres après la virgule.
7. Donner cette surface en $cm^2$ dans le cas où l'unité grapique est de 2 cm en abscisse et de 4 cm en ordonnée.