Préparation CCF MSSP1 n°1
Dans une installation industrielle, la maintenance assure le bon fonctionnement d'une machine outil en moyenne 30 jours, suivant une distribution exponentielle.
- Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
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Quelle est la probabilité que la machine outil fonctionnenent entre 28 et 32 jours?
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Quelle est la probabilité que la machine outil fonctionnenent moins de 28 jours?
- Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
- Si l'installation compte 120 systèmes de sécurité, quelle est la probabilité qu'au moins 87 d'entre elles fonctionnent après 20 jours ?
Soit $f$ la fonction définie sur $[-\infty;+\infty]$ par : $$f(x)=0,5x+5-e^{0,5x-2}.$$
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- Déterminer les limtes de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$
- Déterminer le fonction dérivée de $f$.
- Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;10]$
- Établir le tableau de variation de $f$ sur $[0;10]$
- Déterminer l'équation de la tangente en 2 de $f$.
- Calculer $\int_{0}^{10}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
- Une usine fabrique et commercialise des parquets stratifiés. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 0 et 1 000 palettes de parquets . On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en centaine de milliers d'euros, réalisé pour
la production et la vente de $x$ centaines de palettes de parquets est modélisé sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par la fonction $f$.
- Déterminer le nombre de palettes que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
- Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 0 et 1 000 palettes. Arrondir le résultat à la centaine d'euro.
On sait que la valeur moyenne d'une fonction sur$[a;b]$ est donnée par $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.
Préparation CCF MSSP1 n°2
La réalisation d'un IRM dure en moyenne 30 minutes. La loi dont une réalisation est le temps d'un examen IRM suit une loi exponentielle.
- Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
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Quelle est la probabilité que l'examen dure entre 29 et 30 minutes?
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Quelle est la probabilité que l'examen dure plus de 32 minutes?
- Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
- On réalise 70 IRM dans la semaine, quelle est la probabilité qu'au moins 52 d'entre eux dure moins de 31 minutes?
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty]$ par : $$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+1}$$
- Déterminer les limtes de $f$ en $+\infty$ et en $-1$
- Déterminer le fonction dérivée de $f$.
- Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $]-1;+\infty[$
- Établir le tableau de variation de $f$ sur $]-1;+\infty[$
- Déterminer l'équation de la tangente en 0 de $f$.
- Calculer $\int_{0}^{10}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
Préparation CCF MSSP1 n°3
On s'interresse à la durée de vie d'un smartphone. En moyenne, un smartphone fonctionne correctement 4 ans. On note X la variable aléatoire dont une réalisation est la durée de vie d'un smartphone. On admet que X suit une loi exponentielle.
- Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
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Quelle est la probabilité que la durée de vie soit entre 4 ans et 2 mois et 4 ans et 8 mois?
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Quelle est la probabilité que durée de vie soit inférieur à 4 ans?
- Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
- On réalise un test sur 120 smartphone, quelle est la probabilité qu'au moins 12 d'entre eux dure plus de 4 ans et 8 mois?
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x+3)e^{-2x}+3x$$
- Déterminer les limtes de $f$ en $+\infty$ et en $-infty$
- Déterminer le fonction dérivée de $f$.
- Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $\mathbb{R}$
- Établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$
- Déterminer l'équation de la tangente en 0 de $f$.
- Déterminer le signe de $f$.