Dans une installation industrielle, la maintenance assure le bon fonctionnement d'une machine outil en moyenne 30 jours, suivant une distribution exponentielle.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que la machine outil fonctionnenent entre 28 et 32 jours?
3. Quelle est la probabilité que la machine outil fonctionnenent moins de 28 jours?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. Si l'installation compte 120 systèmes de sécurité, quelle est la probabilité qu'au moins 87 d'entre elles fonctionnent après 20 jours ?

Soit $f$ la fonction définie sur $[-\infty;+\infty]$ par : $$f(x)=0,5x+5-e^{0,5x-2}.$$

1. 1. Déterminer les limtes de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$
   2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
   3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;10]$
   4. Établir le tableau de variation de $f$ sur $[0;10]$
   5. Déterminer l'équation de la tangente en 2 de $f$.
   6. Calculer $\int_{0}^{10}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
2. Une usine fabrique et commercialise des parquets stratifiés. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 0 et 1 000 palettes de parquets . On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en centaine de milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de palettes de parquets est modélisé sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par la fonction $f$.
1. Déterminer le nombre de palettes que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 0 et 1 000 palettes. Arrondir le résultat à la centaine d'euro.
   On sait que la valeur moyenne d'une fonction sur$[a;b]$ est donnée par $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.

La réalisation d'un IRM dure en moyenne 30 minutes. La loi dont une réalisation est le temps d'un examen IRM suit une loi exponentielle.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que l'examen dure entre 29 et 30 minutes?
3. Quelle est la probabilité que l'examen dure plus de 32 minutes?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. On réalise 70 IRM dans la semaine, quelle est la probabilité qu'au moins 52 d'entre eux dure moins de 31 minutes?

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty]$ par : $$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-1$
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $]-1;+\infty[$
4. Établir le tableau de variation de $f$ sur $]-1;+\infty[$
5. Déterminer l'équation de la tangente en 0 de $f$.
6. Calculer $\int_{0}^{10}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

On s'intéresse à la durée de vie d'un smartphone. En moyenne, un smartphone fonctionne correctement 4 ans. On note X la variable aléatoire dont une réalisation est la durée de vie d'un smartphone. On admet que X suit une loi exponentielle.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que la durée de vie soit entre 4 ans et 2 mois et 4 ans et 8 mois?
3. Quelle est la probabilité que durée de vie soit inférieur à 4 ans?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. On réalise un test sur 120 smartphones, quelle est la probabilité qu'au moins 12 d'entre eux dure plus de 4 ans et 8 mois?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x+3)e^{-2x}+3x$$

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $\mathbb{R}$
4. Établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$
5. Déterminer l'équation de la tangente en 0 de $f$.
6. Déterminer le signe de $f$.

On s'intéresse à la durée de vie d'un appareil electronique avant sa première année. On suppose que cette durée de vie peut être modéliser par une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. D’après une étude, la probabilité que cet appareil tombe en panne pour la première fois avant la fin de la première année est 0,3. D’après cette étude, déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-2}$près.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que la durée de vie soit entre 3 mois et 6 mois?
3. Quelle est la probabilité que durée de vie soit inférieur à 8 mois?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. On réalise un test sur 80 de ces appareils, quelle est la probabilité qu'au moins 8 d'entre eux dure plus de 6 mois?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=-3e^{2x}+2x$$

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $\mathbb{R}$
4. Établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$
5. Déterminer l'équation de la tangente en 0 de $f$.
6. Déterminer le signe de $f$.
7. Donner la surface délimiter par les courbes représentatives de $f$ et celle de la fonction $g$ définit sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-3e^{2x}$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

On s'intéresse à la durée de vie, en année, d'un composant radioactif. On suppose que cette durée de vie peut être modéliser par une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. D’après une étude, l'espérance de vie de cet élément radioactif est de 2000 année.

Dans tout cet exercice les seront arrondis à 4 chiffres après la virgule.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que la durée de vie soit entre 1500 annnées et 2500 années?
3. Quelle est la probabilité que durée de vie soit inférieur à 1500 ans?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. On réalise un test sur 150 de ces éléments, quelle est la probabilité qu'au moins 12 d'entre eux ait une durée de vie supérieure à 2100 ans?

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3;+\infty[$ par : $$f(x)=x\ln(x+3)$$

1. Déterminer les limites de $f$ en $-3$ et en $+\infty$
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
3. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $\mathbb{R}$
4. Établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$
5. Déterminer l'équation de la tangente en 1 de $f$.
6. Déterminer le signe de $f$.
7. Donner la surface délimiter par les courbes représentatives de $f$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.