Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la covid dans une ville. On interroge au hasard 50 habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à 50 tirages successifs indépendants et avec remise.

On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la covid est égale à 0,14. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les 50 interrogées.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

   Code de déblocage :

2. Déterminer la probabilité qu'entre 15 et 40 personnes interrogées soient vaccinées à $10^{-3}$ près.

   Code de déblocage de la correction :

3. Déterminer la probabilité que moins de 10 des 50 personnes interrogées soit vaccinées.

   Code de déblocage de la correction :

4. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,8$ ?

   Code de déblocage de la correction :

5. Donner $EX$ et $\sigma$ on arrondira à $10^{-2}$ près.

   Code de déblocage de la correction :

6. On admet que les conditions sont réunies pour approcher la loi de X par une loi de poisson.
   1. Quel est le paramètre de cette loi de poisson.

      Code de déblocage de la correction :

   2. Déterminer la probabilité que moins de 10 des 50 personnes interrogées soit vaccinées.

      Code de déblocage de la correction :

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;10]$ par : $$f(x)=0,5x+5-e^{0,5x-2}.$$

1. 1. Déterminer le fonction dérivée de $f$.

      Code de déblocage de la correction :

   2. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;10]$

      Code de déblocage de la correction :

   3. Établir le tableau de variation de $f$ sur $[0;10]$

   Code de déblocage de la correction :

   4. Calculer $\int_{0}^{10}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

      Code de déblocage de la correction :

2. Une usine fabrique et commercialise des parquets stratifiés. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 0 et 1 000 palettes de parquets . On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en centaine de milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de palettes de parquets est modélisé sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par la fonction $f$.
1. Déterminer le nombre de palettes que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.

   Code de déblocage de la correction :

2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 0 et 1 000 palettes. Arrondir le résultat à la centaine d'euro.
   On sait que la valeur moyenne d'une fonction sur$[a;b]$ est donnée par $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.}

   Code de déblocage de la correction :

Reprendre les questions des exercices 1 et 2 avec les données suivantes :

• Exercice 1 : on intérroge 200 personnes avec une probabilité d'être vaccinée de 0,32
• Exercice 2 : soit $f$ la fonction défine sur [0;22] par $f(x)=0,2x+3-exp(0,2x-2)$