Asymptote verticale

Asymptote verticale

On dit que $f$ admet une asymptote verticale en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=+\infty$ ou/et si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=-\infty$

bservez que sur cette exemple que $\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty$.

On dit que $f$ admet en -2 une asymptote verticale.

Etude n°1

Soit le fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2x+1+\frac{1}{x^2}$.

On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.

    1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.(Xcas)
    2. En déduire que la courbe admet une asymptote dont on précisera une équation.
    1. Déterminer la fonction dérivée de $f$.(Xcas)
    2. Résoudre $f'(x)<0$.
    3. Établir le tableau de variation.
  1. Vérifier les variations à l'aide de Géogebra.
  2. Sur le même graphique représenter la droite D d'équation $y=2x+1$. Que dire?
  3. Déterminer la limite en $+\infty$ de $f(x)-(2x+1)$.
Correction de l'exercice 1

Aymptote oblique

Asymptote oblique.

On dit que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique de la courbe représentative de $f$ si $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)-(ax+b)=0$ ou/et si $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)-(ax+b)=0$

Montrer que $y=x$ est asymptote oblique à $f:x\longmapsto \frac{x^2+6x+4}{x+6}$.