On s'intéresse ici à la puissance du signal dont on dispose sur le récepteur alimenté par une antenne de réception TV. On modélise l'antenne par un générateur sinusoïdal de force électromotrice E ( En V) et un résistor de résistance R ( en $\Omega$) associé en série. La récepteur étant modélisé par un résistor de résistance $r$ (en $\Omega$), on cherche à optimiser la valeur de $r$ pour que la puissance reçue par le récepteur soit maximale. Le shéma de modélisation est donné ci-dessous.

La puissance $P$ ( en W ) récupérée par le récepteur est donné par la relation :

$P=UI$ où $U=E\frac{r}{r+R}$ et $I=\frac{E}{r+R}$.

On prendra $E=0,1V$ et $R=75\Omega$.

1. Déterminer une expression de la puissance P en fonction de $r$.
2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(r)=10^{-2}\frac{r}{(r+75)^2}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
   1. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$. Qu'en déduire?( quelle asymptote)
   2. Donner la fonction dérivée de $f$.
   3. Résoudre $f'(x)<0$ pour $x\in[0;+\infty[$.
   4. Établir les variations de $f$.
   5. En conclure que $f$ admet un maximum sur $[0;+\infty[$. Préciser sa valeur et la valeur de $r$ en laquelle il est atteint.
   6. Vérifier à l'aide de Géogebra.