Intégration-Calcul de surface

Unité d'aire :

Cas d'une fonction positive.

Soit $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle [a ; b].

L'intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)dx$ est l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par les droites d'équations $x=a$, $x=b$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ exprimée en u.a. on note : $$\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Cas d'une fonction négative.

Soit $f$ une fonction continue et négative sur l'intervalle [a ; b].

L'intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)dx$ est - l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par les droites d'équations $x=0$, $x=b$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ exprimée en u.a. on note : $$\mathcal{A}=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$

$\int_{a}^{b}f(x) dx$ se lit intégrale de $a$ à $b$ de $f(x) dx$.

Pour calculer $\int_{a}^{b}f(x) dx$ sous Xcas on écrit la commande : int(f(x),x,a,b)

Soit $f:x\longmapsto \frac{3x}{x^2+1}$

  1. Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
  2. Déterminer la surface en unité d'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$. On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
  3. Dans cette question en abscisse une unité mesure 2 cm et en ordonnées 1 unité mesure 3cm. Donner la surface précédente en $cm^2$. On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
Une vidéo pour vous aider :

Code de déblocage de la correction de l'exercice 1 :

Surface délimitée par deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle [a;b] telles que pour tout $x\in[a;b]$ on a : $f(x)\leq g(x)$.

L'aire $\mathcal{A}$ délimitée par les courbes représentatives f de g et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est, exprimée en u.a. :
$$\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\Big( g(x)-f(x) \Big) dx$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;2]$ par : $$f(x)=2xe^{1-x}$$

  1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;2]$.
  2. Sur Géogebra, représenter la courbe représentative de $f$, les droites d'équations $x=2$ et $y=2x$.
  3. Déterminer la surface en u.a. de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
  4. On suppose que l'unité en abscisses est de 2 cm et de 3 cm en ordonnées, donner l'aire précédente en $cm^2$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
  5. Résoudre à l'aide de Xcas $f(x)\geq 2x$ pour $x\in[0;2]$. Qu'en déduire ?
  6. Déterminer la surface en u.a. de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de $f$, la droite d'équation $y=2x$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
  7. On suppose que l'unité en abscisses est de 3 cm et de 1 cm en ordonnées, donner l'aire précédente en $cm^2$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
Une vidéo pour vous aider :

Code de déblocage de la correction de l'exercice 2 :

Du côté des calculatrices

Calculatrice numworks disponible : le site numworks

Traiter les deux exercices précédents en utilisant votre calculatrice et/ou la calculatrice numworks disponible ci-dessus.

Une vidéo pour vous aider :

Evaluation

Code de déblocage de l'évaluation :

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