Loi de poisson
$\lambda$ est un réel strictement positif, on appelle loi de poisson de paramètre $\lambda$, notée $\mathcal{P}(\lambda)$, la loi de la variable aléatoire réelle définie sur $\N$ par : $$X(\Omega )= \mathbb{N}$$ $$P( X = k ) = e^{-\lambda }.\frac{\lambda ^{k}}{k!}$$ $$E(X) =\lambda \textrm{ et } \sigma_X = \sqrt{\lambda}.$$
La loi de Poisson se rencontre lorsque la réalisation d'un événement est rare sur un grand nombre d'observations. c'est le cas notamment dans les problèmes concernant les pannes de machines, les sinistres, la mortalité, . . .
Loi de Poisson et Xcas
poisson(λ,2)
.poisson_cdf(λ,3,5)
.Approximation d'un loi binomiale par une loi de poisson
Si $n$ est grand , $p$ est voisin de 0 et $np$ pas trop grand alors on peut approximer la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda = np$.
Une entreprise de construction métallique s'approvisionne régulièrement chez le même fournisseur en poutres IPN. 3% des poutres présentent un défaut A concernant les dimensions du profilé. 2% des poutres présentent un défaut B concernant la qualité de l'acier. La présence de ces deux défauts constitue des événements indépendants. Les poutres ne présentant ni le défaut A, ni le défaut B sont dites de premier choix, toutes les autres sont dites de second choix.
Dans une usine de production de composants électroniques, la machine d'assemblage est censée produire en moyenne 3 composants par minute, suivant une distribution de Poisson. La direction de l'usine veut s'assurer que la machine fonctionne correctement et décide de surveiller la production.
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