Au cours d'une séance d'essai, un pilote d'automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule.

Au moment du top sonore, on mesure la vitesse de l'automobile, puis la distance nécessaire pour arrêter le véhicule. Pour six expériences, on a obtenu les résultats suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{Vitesse en km/h} : v_i & 27 & 43 & 62 & 80 & 98 & 115 \\ \hline \textrm{Distance d'arrêt en m }: y_i & 6,8 & 20,5 & 35,9 & 67,8 & 101,2 & 135,8\\ \hline \end{array}$$

1. Peut-on envisager un ajustement affine de cette série ?
2. On pose, pour les six valeurs de $v_i$, $x_i=v_i^2$ et on considère la série double $(x_i;y_i)$, $1 \leq i \leq 6$. Dresser le tableau de la série $(x;y)$.
3. Construire le nuage de points associé à cette nouvelle série double
4. Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y=mx+p$ ($m$ et $p$ étant arrondis à $10^{-2}$). Tracer cette droite dans le repère précédent.
5. \`A l'aide de cette équation, déterminer la valeur estimée de $x$ correspondant à une distance d'arrêt de 180 m puis la vitesse correspondante du véhicule.
6. Quelle est la distance d'arrêt estimée correspondant à une vitesse de 150 km/h ?

Code de déblocage de la correction :

L'unité de temps est la seconde, l'unité de longueur est le mètre.

A l'instant $t=0$ on lance un container à partir d'un avion. On cherche à déterminer l'instant où la norme du vecteur vitesse du centre de gravité du container est minimale pour pouvoir déclencher l'ouverture du parachute.

On admet qu'à chaque instant $t$ de la chute du container précédant l'ouverture du parachute, le carré de la norme de ce vecteur vitesse est $f(t)$ où $f$ est la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=400(31e^{-0,4t}-12e^{-0,2t}+6).$$

1. Calculer $f(0)$, déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)$.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Soit $h$ la fonction définie $[0 ; +\infty[$ par :$$h(t)=\sqrt{f(t)}$$ Étudier les variations de h.
4. En déduire, à $10^{-2}$ prés, par défaut l'instant $t_0$ pour lequel $h(t)$ est minimum, c'est à dire l'instant $t_0$ où le vecteur vitesse du centre de gravité du container a une norme minimale.
5. Déterminer cette vitesse à $10^{-2}$.

Code de déblocage de la correction :