La notions de limites par les courbes

Nous avons maintenant déterminer les variations d'une fonction. Pour compméter l'étude d'une fonciton nous avons besoin de déterminer les limites d'une fonction. Il s'agit de comprendre le comportement d'une fonction en l'infini ou bien en des endroits particuliers comme des valeurs interdites.

Nous allons apprendre à repérer les valeurs des limites à partir du tracée d'une courbe puis à l'aide de xcas

On notera :

la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ainsi : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$
la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ ainsi : $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$
la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures à 2 ainsi : $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs inférieures à 2 ainsi : $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$

Nous allons utiliser Geogebra en ligne pour représenter les fonctions Geogebra

Représenter pour chacune des fonctions les limites aux bornes de l'ensemble de définition à partir de géogebra

la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=2x^3-3x+1$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=-2x^2$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-2\}=]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $f(x)=\frac{1}{x+2}$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=\exp(-3x)$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$
la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x+1)$

Limites et xcas

Maintenant que vous comprenez graphiquement la notion de limites, passons à leur détermination avec xcas.

la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-2\}$ par $f(x)=\frac{1}{x+2}$

On commence par implémenter la fonction en xcas : f(x):=1/(x+2)

Pour déterminer la limite en $-\infty$ il faudra écrire en xcas limit(f(x),x,-inf)
Pour déterminer la limite en $+\infty$ il faudra écrire en xcas limit(f(x),x,+inf)
Pour déterminer la limite en -2 par valeurs inférieures à -2 il faudra écrire en xcas limit(f(x),x,-2,-1)
Pour déterminer la limite en -2 par valeurs supérieures à -2 il faudra écrire en xcas limit(f(x),x,-2,1)

Déterminer avec xcas les limites des fonctions suivantes aux bornes de l'ensemble de définition

la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=2x^3-3x+1$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=-2x^2$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-3\}=]-\infty;-3[\cup]-3;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ par $f(x)=exp(-3x)$
la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-1\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x+2}{(x+1)^2}$
la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$
la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x+1)$

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