Dans ce tp , nous allons apprendre ce qu'est une équation différentielle et apprendre à en résoudre quelques unes.
On appelle équation différentielle une relation entre la variable t(ou autre), une fonction f de variable t et certaines de ses dérivées.
L'équation : $f''-3f'+tf=5$ est une équation différentielle d'ordre 2 d'inconnue f.
L'équation : $y^{(3)}+xy'=sin(t)$ est une équation différentielle d'ordre 3 d'inconnue y.
On appelle solution d'une équation différentielle, sur un intervalle I de $\mathbb{R}$, toute fonction définie sur I vérifiant la relation définissant l'équation différentielle.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I signifie déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle sur l'intervalle I.
Vérifier que la fonction $x\longmapsto e^x$ est une solution de l'équation différentielle $y'-y=0$ sur $\mathbb{R}$.
Soient $a$ et $b$ deux réelles avec $a$ non nul.
Les solutions sur I de l'équation différentielle $a y' + b y = 0$,dite homogène (second membre égal à 0), sont les fonctions définies sur I par :
$$y(t)= k.e^{-\frac{b}{a}t}$$ où $k$ est une constante réelle.
Résoudre :
$a$, $b$ deux réels avec $a$ non nul,et $c$ une fonction dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
Les solutions sur I de l'équation différentielle $a y'(t) + b y(t) = c(t)$ sont les fonctions définies sur I par :$$y(t) = y_0(t) + y_p(t)$$ où $x_0$ est la solution de l'équation homogène associée($a y'(t) + b y(t) =0$) et $y_p$ est une solution particulière de l'équation différentielle.
Plan de résolution de $a y'(t) + b y(t) = c(t)$
Résoudre en appliquant le plan de résolution précédente l'équation :
(E3)$3y'+y=4x-3$, I = ]$-1;+\infty$[
On cherchera une solution particulière de la forme $x_p(x)=ax+b$
Même exercice que précédement avec (E)$5y'-4y=2x-4$
Vous vous en êtes surement rendu compte, il y a infinité de solution sur équation différentielle du premier ordre donnée.
Quand nous fixons des conditions à la solution cherchée (quantité de départ, point de départ, point à mi parcourt...) nous n'avons plus qu'une seule solution.
Une équation différentielle linéaire du premier ordre admet une unique solution sur un intervalle I satisfaisant à \textbf{une condition initiale} donnée.
Reprendre (E3) et déterminer l'unique solution $g$ vérifiant $g(0)=0$.
Reprendre (E4) et déterminer l'unique solution $g$ vérifiant $g(1)=1$.
Soit (E) l'équation : $3 y'-2y = 4x e^{2x}$.
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