TP5 : Equation différentielle du premier ordre

Soit (E) l'équation : $2y'-y =-t^2 + 5t$ ; $t$ appartenant à $\mathbb{R}$.

1. Déterminer la solution générale de l'équation homogène associée à (E).
2. Déterminer une solution particulière f de (E) sous la forme $f(t) = At^2 + Bt + C$ où A, B et C sont des constantes.
3. En déduire la solution générale de (E).

Code de déblocage de la correction :

Soit (E) l'équation : $2 y'-2y = (4x+1) e^{2x}$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

1. Déterminer la solution générale de l'équation homogène associée à (E).
2. Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax + b) e^{2x}$ soit une solution particulière de (E).
3. En déduire la solution générale de (E).
4. Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $f(0) = 1$.

Code de déblocage de la correction :

Partie A

Soit (E) l'équation : $y' + y = (2x + 3)e^{-x}$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y' + y = 0$.
2. Déterminer des réels a, b et c tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax^2 + bx +c) e^{-x}$ soit une solution particulière de (E).
3. En déduire la solution générale de (E).
4. Déterminer la fonction f solution particulière de (E) vérifiant $f(0) = 1$.

Partie B

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x^2 + 3x + 1) e^{-x}$. On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal $(O,\vec{i};\vec{j})$

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variation.
3. soit q un nombre réel strictement positif ; on note A(q) l'aire en $cm^2$ du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x =q$ . déterminer A(q). Calculer la limite de A(q) quand tend vers $+\infty$ .

Code de déblocage de la correction :

Soit (E) l\'équation : $3y'-5y = -3x+5$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

1. Déterminer la solution générale de l\'équation homogène associée à (E).
2. Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = ax + b$ soit une solution particulière de (E).
3. En déduire la solution générale de (E).
4. Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $f(-1) = 0$.