TP5 : Equation différentielle du premier ordre
Soit (E) l'équation : $2y'-y =-t^2 + 5t$ ; $t$ appartenant à $\mathbb{R}$.
- Déterminer la solution générale de l'équation homogène associée à (E).
- Déterminer une solution particulière f de (E) sous la forme $f(t) = At^2 + Bt + C$ où A, B et C sont des constantes.
- En déduire la solution générale de (E).
Soit (E) l'équation : $2 y'-2y = (4x+1) e^{2x}$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
- Déterminer la solution générale de l'équation homogène associée à (E).
- Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax + b) e^{2x}$ soit une solution particulière de (E).
- En déduire la solution générale de (E).
- Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $f(0) = 1$.
Partie A
Soit (E) l'équation : $y' + y = (2x + 3)e^{-x}$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
- Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y' + y = 0$.
- Déterminer des réels a, b et c tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax^2 + bx +c) e^{-x}$ soit une solution particulière de (E).
- En déduire la solution générale de (E).
- Déterminer la fonction f solution particulière de (E) vérifiant $f(0) = 1$.
Partie B
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x^2 + 3x + 1) e^{-x}$. On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal $(O,\vec{i};\vec{j})$
- Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
- Étudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variation.
- soit q un nombre réel strictement positif ; on note A(q) l'aire en $cm^2$ du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x =q$ . déterminer A(q). Calculer la limite de A(q) quand tend vers
$+\infty$ .
Soit (E) l\'équation : $3y'-5y = -3x+5$ ; $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
- Déterminer la solution générale de l\'équation homogène associée à (E).
- Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = ax + b$ soit une solution particulière de (E).
- En déduire la solution générale de (E).
- Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $f(-1) = 0$.