Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, des troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\frac1{82}$ , appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.

1. Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km.
2. Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit supérieure à 300 km.
3. Déterminer la distance moyenne parcourue sans incident.

On suppose que la durée de vie d'un téléphone suit une loi exponentielle. En moyenne, ces téléphones ont une durée de vie de 5 ans.

Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près des probabilités suivantes :

1. Quel est la valeur de $\lambda$?
2. Calculer la probabilité qu'un téléphone dépasse 5 ans de durée de vie?

$X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près pour que $P(X\leq 2)=0,5$.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près pour que $P(X\leq 0,5)=0,23$
2. Déterminer l'espérance de X.
3. Déterminer $P(X\leq 2)$
4. Déterminer $P(0,2\leq X \leq 1)$
5. Déterminer $P(X>0,4)$.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Sachant que l'espérance de $X$ est 10. Donner la valeur de $\lambda$.
2. Déterminer $P(X\geq 0,2)$
3. Déterminer $P(0,05\leq X \leq 0,65)$
4. Déterminer $P(X\leq 0,05)$.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Donner la valeur de $\lambda$, sachant que l'espérance de $X$ est $\frac1{20}$.
2. Donner la valeur de $\lambda$, sachant que $P(X\leq 2)=0,8$.