TP6 : Loi normale

Loi à densité : rappel

Loi continue et densité

Une variable aléatoire $X$ continue est une variable aléatoire à valeur dans $\mathbb{R}$, elle est associée à une fonciton qu'on appelle densité $f$.

On utilise la densité ainsi : $$P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(t)dt$$

Soit $X$ une variable aléatoire à valeur dans $[0;+\infty[$ de densité $f(x)=2e^{-2x}$.

  1. Calculer $P(3\leq X< 5)$
  2. Calculer $P(-1\leq X< 5)$
  3. Calculer $P( X\geq 2)$
  4. Calculer $P(X< 8)$
  5. La formule qui donne l'espérance d'une variable aléatoire continue à valeurs dans $[a;b]$ est : $$E(X)=\int_{a}^{b}xf(x)dx$$ Donner l'espérance de $X$.
  6. Avez vous reconnu la loi de X?

Code de déblocage de la correction :

Loi normale

Soient $m$ un réel et ${\sigma}$ un réel strictement positif, $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ suit Loi normale de paramètres $m$ et ${\sigma}$ notée $\mathcal{N} (m;\sigma)$ si sa densité est $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-{\frac{1}{2}}(\frac{x-m}{\sigma })^{{2}}}$$

Représenter les densités de paramètres 0 et 1 puis de paramètre -1 et 3.

Qu'observez vous?

Le premier paramètre de la loi normale est son espérance et le deuxième son écart-type.

Vous avez sans doute remarqué que la formule de la densité semble compliquée, en fait c'est xcas qui fera le travail.

  1. $P(1\leq X \leq 5)$ on écrit normal_cdf(10,0.1,1,5).
  2. $P(X\geq 5)$ on écrit normal_cdf(10,0.1,5,+inf).
  3. $P(X<5)$ on écrit normal_cdf(10,0.1,-inf,5).

La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(20;5)$.

Calculer les probabilités suivantes :

  1. $P(X\leq28)$ ;
  2. $P(X\geq28)$ ;
  3. $P(X\geq12)$ ;
  4. $P(X\leq12)$ ;
  5. $P(12\leq X\leq 28)$.

Code de déblocage de la correction :

Une entreprise produit des bouteilles d'eau minérale de 1,5 L.

Une bouteille d'eau sortant de la chaîne de remplissage est considérée bonne si elle contient entre 149,6 cl d'eau et 150,4 cl d'eau.

On note $C$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe son contenu en centilitres. On suppose que C suit la loi normale de moyenne 150 et d'écart type 0,2.

Déterminez à $10^{-3}$ près la probabilité qu'une bouteille soit bonne.

Code de déblocage de la correction :

Inversion de la loi normale

On considère X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de \textbf{paramètre 10 et $0,1$}. Pour déterminer le réel $a$ tel que $P(X\leq a)=0,9$ on écrit normal_icdf(10,0.1,0.9).

Trouver la valeur de $a$ dans ce cas.

$X$ suit une loi normale de paramètres 10 et 2.

Calculer la valeur de $a$ si:

  1. $P(X\leq a)=0.8$
  2. $P(X>a)=0.1$

Code de déblocage de la correction :

$X$ suit une loi normale de paramètres 5 et 1.

Calculer la valeur de $a$ si:

  1. $P(X\leq a)=0,3$
  2. $P(X>a)=0,6$
  3. $P(X\geq a)=0,3$
  4. $P(X\leq a)=0,67$

Code de déblocage de la correction :

La normale de paramètre 0 et 1 est appelée loi normale centrée réduite.

Z suit une loi normale centrée réduite.

Déterminer $a$ dans les cas suivants :

  1. $P(-a\leq Z \leq a)=0.8$
  2. $P(-a\leq Z\leq a)=0.7$
  3. $P(Z\leq a)=0.7$
  4. $P(Z\geq a)=0.7$

Code de déblocage de la correction :

X suit une loi normale de paramètres 20 et 3.

Déterminer $a$ dans les cas suivants :

$P(20-a\leq X\leq 20+a)=0.7$

Code de déblocage de la correction :

X suit une loi normale de paramètres 10 et 1.

$P(10-a\leq X \leq 10+a)=0.95$

Code de déblocage de la correction :

Paramètre inconnue

les résultats seront arrondis à $10^{-2}$).

  1. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(2;0,1)$, calculer $P(X\geq 2,2)$.
  2. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(m;0,1)$.
    1. Calculer $m$ pour que $P(X\geq2,2)=0,05$.
    2. Calculer $m$ pour que $P(X\geq2,2)=0,95$.
  3. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(2;\sigma)$.
    1. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\leq2,2)=0,9$.
    2. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\leq1,8)=0,7$.
    3. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\geq2,2)=0,9$.
    4. Calculer $\sigma$ pour que $P(1,8\leq X\leq 2,2)=0,9$.

Code de déblocage de la correction :

  1. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(m;2)$.
    1. Calculer $m$ pour que $P(X\leq23)=0,8$.
    2. Calculer $m$ pour que $P(X\leq18)=0,75$.
    3. Calculer $m$ pour que $P(X\geq23)=0,8$.
    4. Calculer $m$ pour que $P(X\geq18)=0,75$.
  2. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(12;\sigma)$.
    1. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\leq15)=0,9$.
    2. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\leq13)=0,7$.
    3. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\geq15)=0,9$.
    4. Calculer $\sigma$ pour que $P(X\geq13)=0,7$.
    5. Calculer $\sigma$ pour que $P(10\leq X\leq 14)=0,9$.

Code de déblocage de la correction :

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