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Vous avez besoin pour ce chapitre des notions :
- d'angles, de cosinus, de sinus : voir le chapitre sur la trigonométrie
- de calculs de coordonnées dans un repère : distance, milieu et coordonnées d'un vecteur (voir le chapitre sur le produit scalaire)
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Le cours
Une approche historique des nombres complexes.
Nombres complexes et opérations
Définition et notations
Un nombre complexe, noté $z$, est un nombre qui s'écrit sous la forme $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux nombres réels et $i$ un nombre appelé imaginaire tel que $i²=-1$.
La forme $x+iy$ s'appelle forme algébrique du complexe. On note :
- le réel $x$ s'appelle la partie réelle de $z$ notée $x=Re(z)$
- le réel $y$ s'appelle la partie imaginaire de $z$ notée $y=Im(z)$
- L'ensemble des nombres complexes se note $\mathbb{C}$
- Si $x=0$ alors le complexe $z=yi$ est un imaginaire pur.
- Si $y=0$ alors le complexe $z=x$ est un nombre réel.
- Les nombres réels sont inclus dans les nombres complexes. On a $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.
- En physique $i$ est réservé pour l'intensité d'un courant électrique. On utilisera $j$ à la place.
Opérations : addition, soustraction et multiplication
L'addition, la soustraction et le produit s'effectuent selon les méthodes utilisées avec les nombres réels (voir exercice méthode ).
Opérations : la division
On considère le nombre complexe $z=x+iy$. On appelle conjugué de $z$, le complexe noté $\overline{z}$ tel que $\overline{z}=x-iy$.
On considère le nombre complexe $z=x+iy$. On a $z\times\overline{z}=x²+y²$.
On obtient des méthodes pour calculer des quotients de nombres complexes.
- Méthode pour l'inverse : On considère le nombre complexe $z$.La forme algébrique du nombre $\frac{1}{z}$ se calcule en utilisant $\frac{\overline{z}}{z\times\overline{z}}$ (voir exercice méthode)
- Méthode pour le quotient : On considère les nombres complexes $z$ et $z'$.La forme algébrique du nombre $\frac{z}{z'}$ se calcule en utilisant $\frac{z\times\overline{z'}}{z'\times\overline{z'}}$ (voir exercice méthode)
Les propriétés du conjugué d'un nombre complexe. On considère les nombres complexes $z$ et $z'$. On a les propriétés suivantes :
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
- $\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}$
- $\overline{\overline{z}}=z$
- Si $z'\ne 0$ : $\overline{(\frac{1}{z'})}=\frac{1}{\overline{z'}}$
- Si $z'\ne 0$ : $\overline{(\frac{z}{z'})}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
Nombres complexes et géométrie
On se place dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$Affixe d'un point
Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on associe au nombre complexe $z=x+iy$ le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$
Le nombre complexe $z=x+iy$ a pour image le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$
le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$ a pour affixe le nombre complexe $z=x+iy$
On note souvent en indice le nom du point M. Ainsi, $z_{M}=x+iy$ est l'affixe du point $M(x;y)$
- L'axe des abscisses du repère s'appelle l'axe des réels.
- L'axe des ordonnées du repère s'appelle l'axe des imaginaires purs.
On considère les points $A$ et $B$, d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$. Le point $I$, milieu du segment $[AB]$, a pour affixe $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$
Affixe d'un vecteur
Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on associe au nombre complexe $z=x+iy$ le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$, mais aussi le vecteur $\overrightarrow{OM}$. $z=x+iy$ est aussi l'affixe du vecteur $\overrightarrow{OM}$. On écrira $z_{\overrightarrow{OM}}$.
On considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ d'affixes respectives $z_{\vec u}$ et $z_{\vec v}$
On a les propriétés suivantes :
- Le vecteur $\vec u +\vec v $ a pour affixe $z_{\vec u} + z_{\vec v}$
- Le vecteur $k.\vec u$ a pour affixe $z_{k\vec u}=k\times z_{\vec u}$ avec $k$ nombre réel.
On considère les points $A$ et $B$, d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{AB}}=z_{B}-z_{A}$
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Rappel : On se place dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$
Module d'un complexe
Soit M le point d'affixe $z_{M}=x+iy$. On appelle module de z le nombre noté $|z_{M}|$ ayant pour valeur $|z_{M}|=\sqrt{x²+y²}$
- Le module correspond à la distance $|z_{M}|=OM=\sqrt{x²+y²}$.
- Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour module$|z_{B}-z_{A}|=AB$
Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes :
- $|z\times z'|=|z|\times|z'|$
- Si $z'\ne0$ alors $|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}$
Argument d'un complexe
Soit M le point d'affixe $z_{M}=x+iy$ avec $M \ne O$. On appelle argument de $z_{M}$ noté $arg(z_{M})$, une valeur en radian de l'angle orienté $\alpha=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$
Si le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{B}-z_{A}$ alors $arg(z_{B}-z_{A})=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{AB})$.
Deux complexes conjuguées possèdent les mêmes modules et des arguments opposés à $2k\pi$ près avec $k$ appartenant à $\mathbb{Z}$
La forme trigonométrique d'un complexe
Soit $z$ un complexe de module $|z|$ et d'argument $arg(z)=\alpha$. Le complexe $z$ peut s"écrire : $z=|z| (cos(\alpha)+i sin (\alpha))$. Cette écriture s'appelle l'écriture trigonométrique du complexe $z$.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Utilisation de la calculatrice
Les exercices méthodes et les ressources
Toutes les calculatrices possèdent un mode de calcul avec les complexes. Il faut repérer sur la calculatrice la touche qui correspond au nombre $i$.
Sur la calculatrice numworks, le nombre $i$ est sur la deuxième rangée, quatrième touche.
Calculatrice numworks disponible : le site numworks
Exercices méthodes
Pour chacun des nombres complexes suivants, indiquer sa partie réelle et sa partie imaginaire :
- $z=2+3i$
- $z=1-i$
- $z=-i$
- $z=\sqrt{5}$
- $z=i$
- $z=\frac{1}{7}$
- $z=0$
Correction de l'exercice en vidéo :
On considère les complexes $z_1=2-5i$ et $z_2=1+2i$
Calculer :- $z_1+z_2$
- $z_1-z_2$
- $z_1\times z_2$
- $(z_1)²$
- $(z_2)²$
- $z_1+i\times z_2$
- $2\times z_1+3\times z_2$
Correction de l'exercice en vidéo :
On considère les complexes $z_1=2i$ et $z_2=3+2i$
Calculer :- $\frac{-1}{z_1}$
- $\frac{i}{z_1}$
- $\frac{z_1}{z_2}$
Correction de l'exercice en vidéo :
On considère les complexes $z_1=2-5i$ et $z_2=1+2i$
Calculer :- $\frac{1}{z_1}$
- $\frac{1}{z_2}$
- $\frac{z_1}{z_2}$
Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, représenter les points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives :
- $z_{A}=-1+2i$
- $z_{B}=-2i$
- $z_{C}=4$
- $z_{D}=1+i$
TD à télécharger
Un TD sur les écritures algébriques des nombres complexes
Un TD auto-correctif sur les écritures algébriques des nombres complexes (site Chingatome)
Un TD auto-correctif sur la représentation graphique d'un nombre complexe (site Chingatome)
Un TD auto-correctif sur l'écriture trigonométrique d'un nombre complexe (site Chingatome)
Un TD de préparation à l'évaluation
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