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Le cours

On considère une fonction$f$ définie sur un intervalle $I=[a;b]$, un nombre $x_0$ appartenant à l'intervalle $I$ et $h$ un réel non nul.

Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

Quelques rappels de la partie enseignement commun

Notion de taux de variation et de nombre dérivé

Le taux de variation de la fonction $f$ au point d'abscisse $x_0$ est le nombre $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. On le note $t(h)$

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$ est la limite du taux de variation lorsque $h$ se rapproche de O. Il est noté $f'(x_0)$.

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to 0} t(h)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

La tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse $x_0$ est la droite passant par le point A, position limite de toutes les sécantes à la courbe $C$ passant par A

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse $x_0$

Pour retrouver ces définitions et propriétés, vous pouvez vous aider du fichier Geogebra ci dessous.

Il faut bouger à la souris le point.

Fonction dérivée des fonctions de références

Pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f$ défine par $f(x)=x^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$$ f'(x)=n x^{n-1}$$

La fonction $f$ défine par $f(x)=\frac{1}{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et

$$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ On a :

Fonctions composées et dérivation

Cas d'une fonction composée d'une fonction affine

On cherche à trouver la fonction dérivée d'une fonction du type $f(ax+b)$

Quelques exemples :

Soit $a$ et $b$ deux nombres et $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soit la fonction définie par $ x \mapsto f(ax+b) $ notée $g$. Soit $J$ un intervalle tel que pour tout $x \in J$, on a le nombre $ax+b \in I$. Alors la fonction $g$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x \in J$, on a :

$$ g'(x)=a \times f'(ax+b)$$

Cas particulier des fonctions trigonométriques composées

Soit $A$,$\omega$ et $\varphi$ des nombres réels donnés. $f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ définies par $f(t)=A sin(\omega t +\varphi) $ et $g(t)=A cos(\omega t +\varphi) $.

Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $t$, on a :

$$f'(t)=A \times \omega cos(\omega t +\varphi)$$ et $$g'(t)=-A \times \omega sin(\omega t +\varphi)$$

Fonction dérivée et opérations sur les fonctions

Dérivée du produit de deux fonctions

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, alors la fonction $u \times v$ est dérivable sur $I$ et :

$$ (u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$$

La démonstration de ce théorème est au programme de cette spécialité.

On reprend la définition 1 du taux de variation de la fonction $uv$ au point d'abscisse $x_0$

On a :

$$t(h)=\frac{(u \cdot v)(x_0+h)-(uv)(x_0)}{h}=\frac{(u)(x_0+h) \cdot v(x_0+h)-(u \cdot v)(x_0)}{h}$$

On utilise une astuce de calcul, on intercale dans notre calcul : $-u(x_0)v(x_0+h)+u(x_0)v(x_0+h)$

$$t(h)=\frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0+h)-u(x_0)v(x_0+h)+u(x_0)v(x_0+h)-u(x_0) \cdot v(x_0)}{h}=\frac{(u(x_0+h) - u(x_0))\cdot v(x_0+h)+u(x_0)(v(x_0+h)-v(x_0))}{h}$$

$$t(h)=\frac{(u(x_0+h) - u(x_0))}{h}\cdot v(x_0+h)+u(x_0) \cdot \frac{(v(x_0+h)-v(x_0))}{h}$$

On fait tendre $h$ vers $0$

On a donc $\frac{(u \cdot v)(x_0+h)-(uv)(x_0)}{h}$ qui tend vers $u'(x_0) \cdot v(x_0)+u(x_0) \cdot v'(x_0)$

Dérivée de l'inverse d'une fonction

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ (ne s'annulant par sur $I$). La fonction $\frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u²}$$

Dérivée du quotient de deux fonctions

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ (avec $v$ ne s'annulant pas sur $I$), alors la fonction $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v²}$$

Etude de variations d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$, avec $a‹ b$.

Fonction dérivée et cinématique

Lien avec la physique

Notation différentielle

Soit $y$ une grandeur physique qui dépend d'une grandeur $x$. En mathématiques, nous dirons ue $y$ est fonction de $x$. Si $x$ subit une variation $\Delta x$ autour d'une valeur $x_0$, alors $y$ subit une variation $\Delta y$. Lorsque $\Delta x$ tend vers le rapport $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ tend vers $f'(x_0)$

Cette notation s'appelle la notation différentielle (notation que vous retrouvez dans vos calculatrices)

$\left\{\frac{\Delta y}{\Delta x}\right\}_{x_0}=f'(x_0)$

Autres notations possibles : $\frac{df}{dx}(x_0)$ ou $\frac{dy}{dx}(x_0)$

Les exercices méthodes et les ressources

Calculatrice numworks disponible : le site numworks

Exercices méthodes

Déterminer le taux de variation des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

Des aides en vidéo :

Retrouver le calcul du nombre dérivé sur votre calculatrice ainsi que sur la calculatrice Numwork disponible sur cette page.

Vérifier les résultats de l'exercice précédent.

Une vidéo pour vous aider :

Exercice de révision sur les équations de droites.

Donner le coefficient directeur des droites représentées dans GeoGebra ci dessous :

En utilisant l'espace GeoGebra ci-dessous, donner les nombres dérivés de la fonction définie par $f(x)=x³ - 3x² + x + 2$. Vous pouvez bouger le point A sur la courbe et lire ses coordonnées

Chercher une valeur de $x$ pour laquelle le nombre dérivé est égal à 0. Combien en existe-t-il ?

Une vidéo pour vous aider :

TD à télécharger


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