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Le cours
Primitives d'une fonction sur un intervalle
Définition de la notion de primitive
Quelques exemples à tester :
- Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+3$. La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$F(x)=x²+3x-4$ est une primitive de $f$ car :
- $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
- $F'(x)=2x+3=f(x)$
- Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2cos(x)$. La fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$G(x)=2sin(x)+4$ est une primitive de $g$ car :
- $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
- $G'(x)=2cos(x)=g(x)$
Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle
(théorème admis) Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle I. L'ensemble des fonctions primitives de $f$ sur $I$ est constitué des fonctions définies sur $I$ de la forme $F(x)+C$ où $C$ est une constante réelle
Reprenons l'exemple un peu plus haut. $F(x)=x²+3x-4$ est une primitive de $f(x)=2x+3$ sur $\mathbb{R}$. Toutes les fonctions du type $F(x)=x²+3x+C$ avec $C$ constante sont des primitives de $f$.
Par exemple :- $F(x)=x²+3x$
- $F(x)=x²+3x+6$
- $F(x)=x²+3x+\sqrt5$
- ...
- Une fonction qui admet une primitive sur un intervalle admet donc une infinité de primitives sur cet intervalle
Primitive particulière
(théorème admis) Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$. Soit $(x_0;y_0)$ un couple de nombres réels. Il existe une unique fonction primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que : $F(x_0)=y_0$
Primitives d'une fonction de référence
Tableau des primitives usuelles
| Fonction | Primitive | Intervalle de définition |
|---|---|---|
| $a$ | $ax+b$, $a$ et $b$ constantes réelles | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $\frac{1}{2}x²+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $x²$ | $\frac{1}{3}x^3+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ | $\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $a\times x^n$ | $a\times \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $sin(x)$ | $-cos(x)+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $cos(x)$ | $sin(x)+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $A sin(\omega t+\phi)$ | $-\frac{A}{\omega}cos(\omega t+\phi)+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $A cos(\omega t+\phi)$ | $\frac{A}{\omega}sin(\omega t+\phi)+c$ | $\mathbb{R}$ |
Recherche de primitives en vidéo :
Opérations sur les primitives
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ une constante réelle.
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $G$ est une primitive de $g$ sur I, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$
Lien avec la physique
La vitesse instantanée d'un mobile correspond à la fonction dérivée de la distance parcourue. La distance parcourue est donc une primitive de la vitesse instantanée.
Les exercices méthodes et les ressources
Calculatrice numworks disponible : le site numworks
Exercices méthodes
Soit $F$ la fonction définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $F(x)=\frac{3x-4}{x+2}$. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $f(x)=\frac{10}{(x+2)²}$
Lien avec la physique
TD à télécharger
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