Comment utiliser cette page Web ?

Présentation générale

Cette page du site monlyceenumique.fr vous permet d'affermir votre maîtrise sur les fractions à travers 4 compétences :

  1. Savoir simplifier des fractions,

  2. Savoir additionner des fractions,

  3. Savoir multiplier des fractions,

  4. Savoir diviser des fractions.

Le but est de travailler sur les notions qui vous posent le plus de difficultés sur les fractions afin de progresser.

Surtout n'hésitez pas à appeler votre enseignant au cours de la séance en classe !

En fin de la page, vous trouverez un pdf vous permettant de chercher d'autres exercices. Les réponses non détaillées apparaîtront en bas de page.

Enfin, afin que vous perceviez le fait que les mathématiques sont un outil qu'il est important de maîtriser dans pleins de domaines de la vie, une dernière partie vous permettra de découvrir comment la maîtrise des compétences travaillées dans la page permettent de répondre à un problème concret. Les méthamatiques, quel enrichisement culturel !

Test

Veuillez répondre à chacune des questions ci-dessous en saisissant votre réponse sous la forme a/b où a et b sont deux nombres entiers.

  1. Simplifier la fraction $\dfrac{6\times 35}{18\times 10}$ au maximum (on parle de forme irréductible) :

  2. Simplifier la fraction $\dfrac{5+7}{5+3}$ au maximum (on parle de forme irréductible) :

  3. Simplifier l'addition suivante : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5}$.

  4. Simplifier la soustraction suivante : $\dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{4}$.

  5. Simplifier la multiplication suivante : $\dfrac{2}{9}\times \dfrac{7}{5}$.

  6. Simplifier la multiplication suivante : $\dfrac{2}{9}\times \dfrac{7}{5}$.

  7. Simplifier la division suivante : $\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}$.

  8. Simplifier la division suivante : $\dfrac{\dfrac{8}{15}}{\dfrac{2}{21}}$.

Une fois que vous avez répondues à chacune des questions, cliquez sur le bouton ci-dessous afin d'afficher la liste des compétences à retravailler :

Savoir simplifier des fractions

Méthode

Une fraction est le quotient du nombre entier $a$ par le nombre entier $b$, $b$ étant différent de 0.
Cette fraction est notée $\frac{a}{b}$.

$\frac{2}{7}$ ou $\frac{9}{4}$ ou $\frac{12}{8}$ sont des fractions.
Par contre, $\frac{2.5}{3}$ n'est pas une fraction car 2.5 n'est pas un nombre entier.

L'écriture fractionnaire $\frac{2.5}{3}$ peut être écrite sous forme d'une fraction avec $\frac{5}{6}$.

En $\color{red}{multipliant}$ ou en $\color{blue}{divisant}$ le numérateur et le dénominateur par le même nombre, on conserve la valeur de la fraction.

Ceci s'écrit ainsi avec $a$, $b$ et $k$ des nombres entiers tels que $b$ soit différent de 0 :

Simplification de fractions :

Pour simplifier une fraction, il suffit de trouver un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

$\displaystyle{\frac{14}{6}=\frac{7 \color{red}{\times 2}}{3 \color{red}{\times 2}}=\frac{7}{3}}$

Attention ! Cette propriété est fausse pour les additions et les soustractions car :

Exemples

Énoncé : Simplifier la fraction $\frac{15}{12}$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} \frac{15}{12} &= \frac{5 \color{red}{\times 3}}{4 \color{red}{\times 3}} && (\color{red}{\text{3 est un facteur commun}}) \\[3pt] \ &= \frac{5}{4} && \text{(par simplification de ce facteur commun)} \end{align}}$$

Pour mieux comprendre l'exemple précédent de simplification de fraction, vous pouvez visualiser cette vidéo explicative.

Exercices

Simplifier, si possible, chacune des fractions suivantes.

  1. $\displaystyle{A=\frac{28}{8}}$.

  2. $\displaystyle{B=\frac{24}{60}}$.

  3. $\displaystyle{C=\frac{4+12}{4+2}}$.

  4. $\displaystyle{D=\frac{21\times 12}{8 \times 14}}$.

  5. $\displaystyle{E=\frac{10\times 55 \times 12}{33 \times 4 \times 25}}$.

Cliquer pour afficher les solutions
  1. $\displaystyle{A=\frac{28}{8}=\frac{7 \color{red}{\times 4}}{2 \color{red}{\times 8}}=\frac{7}{2}}.$
  2. $\displaystyle{B=\frac{24}{60}=\frac{4 \color{red}{\times 6}}{10 \color{red}{\times 6}}=\frac{4}{10} =\frac{2 \color{red}{\times 2}}{5 \color{red}{\times 2}}=\frac{2}{5}}$. Vous pouvez aussi directement simpliifer par 12 si vous trouver ce facteur commun.

  3. $\displaystyle{C=\frac{4+12}{4+2}=\frac{16}{6}=\frac{8 \color{red}{\times 2}}{3 \color{red}{\times 2}}=\frac{8}{3}}.$

    remarquez que $\frac{4+12}{4+2} \neq \frac{12}{2} (=6)$ : on ne simplifie pas par un terme commun.

  4. $\displaystyle{D=\frac{21\times 12}{8 \times 14} =\frac{3 \color{red}{\times 7} \times 3 \color{blue}{\times 4}}{2 \color{blue}{\times 4} \times 2 \color{red}{\times 7}} =\frac{3 \times 3}{2 \times 2} =\frac{9}{4}}$.

  5. $\displaystyle{E=\frac{10\times 55 \times 12}{33 \times 4 \times 25} =\frac{2 \color{red}{\times 5}\times 5 \color{blue}{\times 11} \times 3 \color{green}{\times 4}}{3 \color{blue}{\times 11} \times \color{green}{4} \times 5 \color{red}{\times 5}} =\frac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 5}=2 }$

Savoir additionner des fractions

Méthode

Pour additionner (ou soustraire) des fractions :

  1. Mettre les deux fractions au même dénominateur,

  2. Conserver le dénominateur commun,

  3. Additionner (ou soustraire) les deux numérateurs

Si vous avez du mal à visualiser la méthode pour additionner, vous pouvez visionner la vidéo suivante :

Si vous avez du mal à visualiser comment mettre au même dénominateur, vous pouvez visionner la vidéo suivante :

Le produit des deux dénominateurs est un dénominateur commun, mais pas forcément le plus petit.

Exemples

Énoncé : Calculer la somme suivante : $\displaystyle{\frac{5}{12}+\frac{3}{8}}$.

Correction possible :

Un dénominateur commun de $12$ et de $8$ est $48$ car $48=12 \times 4$ et $48= 8 \times 6$

$$\displaystyle{\begin{align} \frac{5}{12}+\frac{3}{8} &= \frac{5 \color{red}{\times 3}}{12 \color{red}{\times 4}}+\frac{3 \color{red}{\times 6}}{8 \color{red}{\times 6}} && (\color{red}{\text{mettre 48 comme un facteur commun}}) \\[3pt] \ &= \frac{15}{48}+\frac{18}{48} && \text{(par simplification)} \\[3pt] \ &= \frac{\color{blue}{15+18}}{\color{red}{48}} && (\color{red}{\text{conservation du dénominateur commun}}\text{ et }\color{blue}{\text{addition des numérateurs}}) \\[3pt] \ &= \frac{33}{48} && \text{(par simplification)} \end{align}}$$

Vous pouvez regarder la vidéo accessible ci-dessous afin de mieux comprendre la méthode grâce à l'exemple précédent.

Exercices

Effectuer les additions et soustractions suivantes :

  1. $\displaystyle{\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}$

  2. $\displaystyle{\frac{4}{9}-\frac{1}{6}}$

  3. $\displaystyle{2+\frac{3}{2}-\frac{5}{6}}$

  4. $\displaystyle{\frac{2}{3}+4-\frac{11}{6}}$

Cliquer pour afficher les solutions
  1. Un dénominateur commun de $6$ et de $4$ est $12$ car $12=6 \times 2$ et $12= 4 \times 3$

    $\displaystyle{ \frac{5}{6}+\frac{3}{4} = \frac{5 \color{red}{\times 2}}{6 \color{red}{\times 2}}+\frac{3 \color{red}{\times 3}}{4 \color{red}{\times 3}} = \frac{10}{12}+\frac{9}{12} = \frac{\color{blue}{10+9}}{\color{red}{12}} = \frac{19}{12}}$
  2. Un dénominateur commun de $9$ et de $6$ est $18$ car $18=9 \times 2$ et $18= 6 \times 3$

    $\displaystyle{ \frac{4}{9}-\frac{1}{6} = \frac{4 \color{red}{\times 2}}{9 \color{red}{\times 2}}-\frac{1 \color{red}{\times 3}}{6 \color{red}{\times 3}} = \frac{8}{18}-\frac{6}{18} = \frac{\color{blue}{8-6}}{\color{red}{18}} = \frac{2}{18}= \frac{1}{9}}$
  3. Remarquer que $2=\frac{2}{1}$ : ce nombre doit aussi être mis au même dénominateur.

    Un dénominateur commun de $1$, $2$ et de $6$ est $6$ car $6=1 \times 6$, $6=2 \times 3$ et $6= 6 \times 1$

    $\displaystyle{ 2+\frac{3}{2}-\frac{5}{6} = \frac{2 \color{red}{\times 6}}{1 \color{red}{\times 6}} +\frac{3 \color{red}{\times 3}}{2 \color{red}{\times 3}}-\frac{5 \color{red}{\times 1}}{6 \color{red}{\times 1}} = \frac{12}{6}+\frac{9}{6}-\frac{5}{6} = \frac{\color{blue}{12+9-5}}{\color{red}{6}} = \frac{16}{6}= \frac{8}{3}}$
  4. Remarquer que $4=\frac{4}{1}$ : ce nombre doit aussi être mis au même dénominateur.

    Un dénominateur commun de $1$, $3$ et de $6$ est $6$ car $6=1 \times 6$, $6=3 \times 2$ et $6= 6 \times 1$

    $\displaystyle{ \frac{2}{3}+4-\frac{11}{6} = \frac{2 \color{red}{\times 2}}{3 \color{red}{\times 2}} +\frac{4 \color{red}{\times 4}}{1 \color{red}{\times 6}}-\frac{11 \color{red}{\times 1}}{6 \color{red}{\times 1}} = \frac{4}{6}+\frac{24}{6}-\frac{11}{6} = \frac{\color{blue}{2+24-11}}{\color{red}{6}} = \frac{15}{6}= \frac{5}{2}}$

Savoir multiplier des fractions

Méthode

Pour multiplier des fractions :

  1. Simplifier éventuellement des facteurs commun,

  2. multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Simplifier avant de multiplier permet de travailler avec des nombres plus simples, de réduire les risques d'erreur de calculs et de calculer plus vite.

Visualisation :

Pour tout nombre entier $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ tel que les fractions suivantes existent, on a :

Exemples

Énoncé : Calculer le produit suivant : $\displaystyle{\frac{5}{12}\times \frac{8}{3}}$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} \frac{5}{12}\times \frac{8}{3} &= \frac{5}{3 \color{red}{\times 4}}\times \frac{2 \color{red}{\times 4}}{3} && (\color{red}{\text{faire apparaître 4 comme un facteur commun}}) \\[3pt] \ &= \frac{5}{3}\times \frac{2}{3} && \text{(par simplification)} \\[3pt] \ &= \frac{\color{red}{5\times 2}}{\color{blue}{3\times 3}} && (\color{blue}{\text{multiplication ensemble des numérateurs}}\text{ et }\color{red}{\text{multiplication ensemble des dénominateurs}}) \\[3pt] \ &= \frac{10}{9} && \text{(par simplification)} \end{align}}$$

Vous pouvez regarder la vidéo accessible ci-dessous afin de mieux comprendre la méthode grâce à l'exemple précédent.

Exercices

Effectuer les multiplications suivantes :

  1. $\displaystyle{\frac{5}{6}\times\frac{3}{4}}$

  2. $\displaystyle{\frac{49}{48}\times\frac{32}{35}}$

  3. $\displaystyle{3\times\frac{5}{8}}$

  4. $\displaystyle{5\times \frac{72}{9}\times \frac{3}{8}}$

Cliquer pour afficher les solutions
  1. $\displaystyle{ \frac{5}{6}\times\frac{3}{4} = \frac{5}{2 \color{red}{\times 3}}\times\frac{\color{red}{3}}{4} = \frac{5}{2}\times\frac{1}{4} = \frac{\color{red}{5\times 1}}{\color{blue}{2\times 4}} = \frac{5}{8}}$
  2. $\displaystyle{ \frac{49}{48}\times\frac{32}{35} = \frac{7\color{red}{\times 7}}{6 \color{blue}{\times 8}}\times\frac{4\color{blue}{\times 8}}{5\color{red}{\times 7}} = \frac{7}{6}\times\frac{4}{5} = \frac{7}{3\color{red}{\times 2}}\times\frac{2\color{red}{\times 2}}{5} = \frac{7}{3}\times\frac{2}{5} = \frac{\color{red}{7\times 2}}{\color{blue}{3\times 5}} = \frac{14}{15}}$
  3. Remarquer que $3=\frac{3}{1}$.

    $\displaystyle{ 3\times\frac{5}{8} = \frac{3}{1}\times\frac{5}{8} = \frac{\color{red}{3\times 5}}{\color{blue}{1\times 8}} = \frac{15}{8}}$
  4. Remarquer que $5=\frac{5}{1}$.

    $\displaystyle{ 5\times \frac{72}{9}\times \frac{3}{8} = \frac{5}{1}\times \frac{\color{blue}{8}\color{red}{\times 9}}{\color{red}{9}}\times\frac{3}{\color{blue}{8}} = \frac{5}{1}\times\frac{3}{1} = \frac{\color{red}{5\times 3}}{\color{blue}{1\times 1}} = \frac{15}{1}}=15$

Effectuer les multiplications suivantes en respectant les ordres de priorité, les parenthèses et la règle des signes :

  1. $\displaystyle{A=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}\right)}$.

  2. $\displaystyle{B=3\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}}$.

  3. $\displaystyle{C=\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{2}\right)\times\frac{-2}{17}}$.

Cliquer pour afficher les solutions
  1. La soustraction à l'intérieur de la parenthèse est prioritaire.
    Penser à mettre au même dénominateur pour soustraire ou additionner (en rouge)
    Penser à simplifier avant de multiplier (en bleu).

    $\displaystyle{A=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}\right) =\left(\frac{1 \color{red}{\times 5}}{2 \color{red}{\times 5}}-\frac{3 \color{red}{\times 2}}{5 \color{red}{\times 2}}\right)\times\left(\frac{1}{3 \color{blue}{\times 2}}\times\frac{2 \color{blue}{\times 2}}{5}\right)}$ $\displaystyle{=\left(\frac{5}{10}-\frac{6}{10}\right)\times\left(\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}\right)}$ $\displaystyle{=\left(-\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{1\times 2}{3\times 5}\right)}$ $\displaystyle{=-\frac{1}{10}\times\frac{2}{15}}$ $\displaystyle{=-\frac{1}{5\color{blue}{\times 2}}\times\frac{\color{blue}{2}}{15}}$ $\displaystyle{=-\frac{1\times 1}{5\times 15}}$ $\displaystyle{=-\frac{1}{75}}$
  2. La multiplication par 3 est prioritaire sur l'addition.
    Comme $3=\frac{3}{1}$, il suffit de multiplier le numérateur seul par 3 (en rouge).

    $\displaystyle{B=3\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{\color{red}{3\times}4}{5}-\frac{\color{red}{3\times}3}{2}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{12}{5}-\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{12\color{blue}{\times 2}}{5\color{blue}{\times 2}}-\frac{9\color{blue}{\times 5}}{2\color{blue}{\times 5}}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{24}{10}-\frac{45}{10}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=\left(-\frac{21}{10}\right)+\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{=-\frac{21}{10}+\frac{1\color{blue}{\times 5}}{2 \color{blue}{\times 5}}}$ $\displaystyle{=-\frac{21}{10}+\frac{5}{10}}$ $\displaystyle{=-\frac{16}{10}}$ $\displaystyle{=-\frac{8\color{blue}{\times 2}}{5\color{blue}{\times 2}}}$ $\displaystyle{=-\frac{8}{5}}$.
  3. Penser à respecter la règle des signes.
    Simplifier avant de multiplier.

    $\displaystyle{C=\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{2}\right)\times\frac{-2}{17}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{2\color{red}{\times 2}}{3\color{red}{\times 2}}-\frac{7\color{red}{\times 3}}{2\color{red}{\times 3}}\right)\times\frac{-2}{17}}$ $\displaystyle{=\left(\frac{4}{6}-\frac{21}{6}\right)\times\frac{-2}{17}}$ $\displaystyle{=\left(-\frac{17}{6}\right)\times\frac{-2}{17}}$ $\displaystyle{=+\frac{\color{blue}{17}\times 2}{6\times \color{blue}{17}}}$ $\displaystyle{=+\frac{\color{green}{2}}{3\times \color{green}{2}}}$ $\displaystyle{=\frac{1}{3}}$

Savoir diviser des fractions

Méthode

L'inverse d'une fraction $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$.

En particulier, l'inverse d'un enteir $a$ est la fraction $\frac{1}{a}$.

Diviser par une fraction revient à multiplier par l'inverse de cette fraction.

Visualisation avec le symbole $\div$ : pour tout nombre entier $a$, $b$, $c$ et $d$ tel que les fractions suivantes existent, on a :

$$\displaystyle{\frac{a}{b}\color{red}{\div \frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\color{red}{\times \frac{d}{c}}}$$

Visualisation sous forme de fraction : pour tout nombre entier $a$, $b$, $c$ et $d$ tel que les fractions suivantes existent, on a :

$$\displaystyle{\frac{\frac{a}{b}}{\color{red}{\frac{c}{d}}}=\frac{a}{b}\color{red}{\times \frac{d}{c}}}$$

Exemples

Énoncé : Calculer le quotient suivant : $\displaystyle{\frac{\frac{5}{12}}{\frac{8}{3}}}$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} \frac{\frac{5}{12}}{\frac{8}{3}} &= \frac{5}{12} \color{red}{\times \frac{3}{8}} && (\color{red}{\text{diviser par une fraction renvient à multiplier par son inverse}}) \\[3pt] \ &= \frac{5}{4 \color{blue}{\times 3}}\times \frac{\color{blue}{3}}{8} && (\color{blue}{\text{simplifier par le facteur commun 3 avant de multiplier}}) \\[3pt] \ &= \frac{5}{4}\times \frac{1}{8} && \text{(par simplification)} \\[3pt] \ &= \frac{\color{red}{5\times 1}}{\color{blue}{4\times 8}} && (\text{par multiplication}) \\[3pt] \ &= \frac{5}{32} && \text{(par simplification)} \end{align}}$$

Vous pouvez regarder la vidéo accessible ci-dessous afin de mieux comprendre la méthode grâce à l'exemple précédent.

Exercices

Effectuer les divisions suivantes :

  1. $\displaystyle{\frac{\frac{18}{35}}{\frac{8}{15}}}$

  2. $\displaystyle{\frac{6}{\frac{1}{5}}}$

  3. $\displaystyle{\frac{6}{5}\div\frac{10}{3}}$

  4. $\displaystyle{\frac{21}{\frac{6}{35}}}$

  5. $\displaystyle{3\times \frac{7-2}{6-2}\div\frac{70}{3}}$

Cliquer pour afficher les solutions
  1. $\displaystyle{ \frac{\frac{18}{35}}{\frac{8}{15}} = \frac{18}{35}\color{red}{\times \frac{15}{8}} = \frac{9\times 2\times 3 \times 5}{5 \times 7\times 4 \times 2} = \frac{9\times 3}{7 \times 4} = \frac{27}{28}}$
  2. Attention à bien repérer la barre de fraction principale !

    $\displaystyle{ \frac{6}{\frac{1}{5}} = 6\color{red}{\times \frac{5}{1}} = 6 \times 5 = 30}$
  3. $\displaystyle{ \frac{6}{5}\div\frac{10}{3} = \frac{6}{5}\color{red}{\times \frac{3}{10}} = \frac{3\times 2\times 3}{5 \times 5 \times 2} = \frac{3\times 3}{5 \times 5} = \frac{9}{25}}$
  4. Attention à bien repérer la barre de fraction principale !

    $\displaystyle{ \frac{21}{\frac{6}{35}} = 21\color{red}{\times \frac{35}{6}} = \frac{21}{1}\times \frac{35}{6} = \frac{3\times 7\times 5 \times 7}{3 \times 2} = \frac{7\times 5 \times 7}{2} = \frac{245}{2}}$
  5. Attention à bien repérer ce qui est prioritaire !
    Ici, il faut comprendre que des parenthèses sont sous-entendues : $\frac{7-2}{6-2}=\frac{(7-2)}{(6-2)}$. Ainsi, ces deux soustractions sont à effectuer avant.

    $\displaystyle{ 3\times \frac{7-2}{6-2}\div\frac{70}{3} = 3\times \frac{(7-2)}{(6-2)}\div\frac{70}{3} = 3\times \frac{5}{4}\color{red}{\div\frac{70}{3}} = \frac{3}{1}\times \frac{5}{4}\color{red}{\times\frac{3}{70}} = \frac{3\times 5 \times 3}{1 \times 4 \times 5 \times 2\times 7} = \frac{3\times 3}{4 \times 2\times 7} = \frac{9}{56}}$

Feuille d'exercices supplémentaires

Vous pouvez télécharger une feuille d'exercices supplémentaires sur les fractions.
Un rappel de cours en début de cours et la réponse attendue en bas de page doivent vous aider à réussir les exercices les plus simples de cette feuille.
Si vous avez rencontrez des difficultés, soit vous m'appelez en cours, soit vous me présentez vos problèmes à la prochaine séance.

Quel enrichissement culturel !

Maîtriser les bases en mathématiques peuvent à la fois être plaisant et valorisant intellectuellement mais aussi cela vous permet de comprendre plein de choses dans des domaines très variés.
Voici un exemple d'utilité des fractions dans un domaine a priori éloigné des mathématiques : les calendriers.

Pourquoi l'année est découpée en 365 jours ?
Pourquoi certaines années des années bissextiles sont rajoutées et d'autres années non ?
Pourquoi la France ainsi que de nombreux pays dans le Monde ont changé de calendriers depuis le XVIè siècle ?
Peut-on améliorer le calendrier actuel ?

Vos compétences acquises sur les fractions vont vous permettre de répondre à ces questions !

L'année solaire dure 365 jours, 5 heures, 48 minutes et 55 secondes.
La proportion de journée qui correspond à 5 heures, 48 minutes et 55 secondes peut être écrite par la fraction $p=\displaystyle{\dfrac{5}{24}+\dfrac{48}{24\times 60}+\dfrac{55}{24\times 60\times 60}}$.

  1. Calculer $\displaystyle{\frac{5}{24}+\frac{48}{24\times 60}+\frac{55}{24\times 60\times 60}}$ pour montrer que $p=\displaystyle{\frac{20935}{86400}}$.

  2. Il faudrait donc rajouter 20935 jours supplémentaires (lors d'années bissextiles) au cours de 86400 années pour qu'il n'y ait pas de décalage entre le calendrier utilisé et les dates liées au soleil. Cependant comment répartir régulièrement ces 20935 jours au cours de 86400 années de manière simple ?

  3. Avant 1582, le calendrier utilisé en France était le calendrier Julien (appelé ainsi car adopté par Jules César) : un jour était rajouté à une année tous les 4 ans. Ainsi, pour ce calendrier, l'année durait 365 jours et 6 heures ; la proportion rajoutée en jour était de $\dfrac{1}{4}$.

    Mettre $\dfrac{1}{4}$ et $p=\displaystyle{\frac{20935}{86400}}$ au même dénominateur afin de savoir combien de jours en trop seraient rajoutés avec ce calendrier sur 86400 ans.

    Entre l'an -45 avant notre ère, date de la mise en place du calendrier Julien, et le milieu du XVIè siècle, c'est-à-dire sur une durée d'environ 1600 ans, un décalage d'une dizaine de jours entre le calendrier et les saisons liées au soleil a été observé. Ce décalage a conduit à changer de calendrier.

  4. Le calendrier mis en place depuis 1582 en France s'appelle le calendrier Grégorien, du nom du pape Grégoire XIII qui a institué ce nouveau calendrier. C'est le calendrier encore en place actuellement.

    Dans ce calendrier, un jour est rajouté lors des années bissextiles. Ces années ont lieu tous les 4 ans ; Cependant, les années séculaires (c'est-à-dire multiple de 100) ce jour est retiré (c'est-à-dire n'est pas rajouté dans les faits) sauf si l'année séculaire est un multiple de 400 (ainsi l'an 2000 fut une année bissextile sans que 1900 ne le soit). Ainsi, pour ce calendrier la proportion rajoutée en jour est de $c=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{400}$.

    Mettre sous forme de fraction irréductible $c=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{400}$.

  5. Mettre la fraction $c$ et $\dfrac{20935}{86400}$ au même dénominateur afin de savoir combien de jours en trop seraient rajoutés avec ce calendrier sur 86400 ans.

    Le calendrier grégorien conduit en gros à un décalage d'un jour tous les environ 3200 ans. Le décalage est dès lors beaucoup moins perceptible que celui observé avec le calendrier Julien.

  6. Les mayas considérés que l'année ordinaire durait 365 jours mais ils étaient conscients que l'année réelle durait plus que cela. Ils avaient remarqués que sur 1101600 jours, il y a eu un certain nombre de saisons qui s'est répété. Cependant, sur cette même durée, le calendrier montré un nombre d'années écoulées correspondant à ce nombre de saisons augmenté de 2.
    Ainsi, pour les mayas, l'année réelle durait $\dfrac{1101600}{\dfrac{1101600}{365}-2}$.

    Écrire $\dfrac{1101600}{\dfrac{1101600}{365}-2}$ sous forme de fraction irréductible.

  7. On peut montrer que l'écart entre la durée réelle et celle considérée par les Mayas conduit à une erreur environ deux fois moindre que celle liée à l'écart entre notre calendrier actuel et la durée réelle d'une année.

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