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Formule d'addition et de duplication

Formule d'addition

Pour tout réel $a$ et $b$, on a :

  1. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.

    On considère le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ de centre $O$.
    $a$ et $b$ sont deux nombres réels ; $M$ et $N$ sont deux points du cercle $\mathcal{C}$ de coordonnées respectives $(\cos(a);\sin(a))$ et $(\cos(b);\sin(b))$.

    1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}$ en faisant le lien avec $\widehat{MON}$

      $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=OM\times ON\times \cos(\widehat{MON})$

      Code de déblocage de la correction :

    2. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}$ en fonction des coordonnées des points $M$ et $N$.

      Code de déblocage de la correction :

    3. En déduire la première formule de la propriété.

      Code de déblocage de la correction :

  2. Remplacer $b$ par $-b$ : Qu'obtenez-vous ?

    Code de déblocage de la correction :

    1. Démontrer que $\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.

      Code de déblocage de la correction :

    2. En déduire que $\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.

      Code de déblocage de la correction :

    3. En déduire la troisième égalité de la propriété.

      Code de déblocage de la correction :

  3. Démontrer la dernière égalité

    Code de déblocage de la correction :

  1. En remarquant que $\frac{\pi}4+\frac{\pi}3=\frac{7\pi}{12}$, donner la valeur exacte de $\cos(\frac{7\pi}{12})$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. En remarquant que $\frac{\pi}4-\frac{\pi}3=-\frac{\pi}{12}$, donner la valeur exacte de $\sin(-\frac{\pi}{12})$.

  3. Code de déblocage de la correction :

Simplifier l'expression de $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$.

Code de déblocage de la correction :

Formule de duplication

Pour tout réel $a$, on a :

  1. En remarquant que $2a=a+a$, démontrer la première égalité.

  2. Code de déblocage de la correction :

    1. Rappeler ce que vaut $\cos^2(a)+\sin^2(a)$.

    2. En déduire les deuxième et troisième formule de la propriété.

    Code de déblocage de la correction :

  3. Démontrer la dernière formule du cours.

  4. Code de déblocage de la correction :

On peut retourner les formules précédentes afin d'obtenir les formules de linéarisation :

En utilisant un lien entre $\frac{\pi}4$ et $\frac{\pi}8$, déterminer la valeur exacte de $\cos(\frac{\pi}8)$.

Code de déblocage de la correction :

Propriétés de l'argument

Dans tout ce cours, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(0 ; \vec{u},\vec{v})$.

Rappels

Les éléments de cours rappelés dans cette partie sont issus du cours c2 accessible ici.

Soit $M$ le point d'affixe $z$. Le module de $z$, noté $| z |$, est la distance $OM$, c'est-à-dire $| z | = OM$.

module

Soit $z$ un nombre complexe non nul de point image $M$ du plan complexe, $N$ est le point d'intersection du cercle trigonométrique $\mathscr{C}$ et de la demi-droite $[OM)$.

On appelle argument de $z$ et on note arg(z) tout nombre $\theta$ dont le point $N$ est l'image sur le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$.

argument
  1. $z=x+iy$ est un nombre complexe.

    $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$

  2. Pour tout nombre complexe $z$ et $z'$ :

    $|zz'| = |z|\times|z'|$

  3. Pour tout nombre complexe $z$ et $z'$, $z'$ étant non nul :

    $\left\lvert\dfrac{z}{z'}\right\rvert = \dfrac{|z|}{|z'|}$

Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme algébrique $x+iy$ ($x$ et $y$ réels).

Alors un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que $\left\{ \begin{array}{l!l} cos(\theta)=&\dfrac{x}{|z|}\\[3pt] sin(\theta)=&\dfrac{y}{|z|} \end{array}\right.$

$z=x+iy$ est un nombre complexe non nul.

L'écriture $z=|z|(cos(\theta)+isin(\theta))$ où $arg(z)=\theta (2\pi)$ est appelée une forme trigonométrique de $z$.

Propriétés de l'argument

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.

$$arg(zz')=arg(z)+arg(z')~[2\pi]$$

  1. En posant $z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ et $z'=r'(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))$, mettre sous forme trigonométrique le produit $zz'$.

  2. Code de déblocage de la correction :

  3. Finir de démontrer le théorème précédent.

  4. Code de déblocage de la correction :

Pour tout nombre complexe $z$ et $z'$, $z'$ étant non nul et tout entier naturel $n\ge 1$ :

  1. $arg(\frac1{z})=-arg(z)~[2\pi]$
  2. $arg(\frac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')~[2\pi]$.
  3. $arg(z^n)=n \times arg(z)~[2\pi]$
  1. À partir de l'égalité $z\times \frac{1}{z} =1$, démontrer que $arg(\frac1{z})=-arg(z)~[2\pi]$.

  2. Code de déblocage de la correction :

  3. Démontrer que $arg(\frac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')~[2\pi]$.

    Penser à adapter une démarche qui vous a permis de démontrer un résultat proche.

  4. Code de déblocage de la correction :

  5. Quel raisonnement permet de démontrer que, pour entier naturel $n$ non nul : $arg(z^n)=n\times arg(z)~[2\pi]$ ?

  6. Code de déblocage de la correction :

Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants :

  1. $z_1=-1+i$
  2. Code de déblocage de la correction :

  3. $z_2=1-i\sqrt{3}$
  4. Code de déblocage de la correction :

  5. $(-1+i)(1-i\sqrt{3})$
  6. Code de déblocage de la correction :

  7. $\frac{-1+i}{1-i\sqrt{3}}$
  8. Code de déblocage de la correction :

Forme exponentielle

fonction $\theta \mapsto \cos(\theta)+i\sin(\theta)$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ par $f(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$, $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$.

Démontrer cette propriété.

Code de déblocage de la correction :

  1. On admet que que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(\theta)=\cos'(\theta)+i \times (\sin)'(\theta)$.

  2. Pour tout réel $\theta$, $f'(\theta)=i \times f(\theta)$.

Démontrer la deuxième propriété ci-dessus : pour tout réel $\theta$, $f'(\theta)=i \times f(\theta)$.

Code de déblocage de la correction :

On vient de voir que :

Ces analogies avec la fonction exponentielle conduisent à adopter l'écriture suivante :

Pour tout réel $\theta$, $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i \sin(\theta)$.

Cette notation est due à Euler qui l'a développée en 1748.

Justifier que $e^{i\pi}+1=0$.

Code de déblocage de la correction :

Cette égalité a été trouvée par Euler. Il trouvait cette égalité très élégante car elle lie les nombres fondamentaux en mathématiques : 0 et 1 (les bases de l'arithmétique), $\pi$ (base du cercle et donc de la géométrie) et $e$ (élément essentiel de l'analyse) ainsi que les deux symboles essentiels de l'algèbre $+$ et $=$.

Forme exponentielle

Tout nombre complexe de module, non nul, $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z=r e^{i\theta}$.

Cette écriture est la forme exponentielle de $z$.

On donne $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.

  1. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. Déterminer la forme exponentielle de $z_2$.

    Code de déblocage de la correction :

Propriétés de $e^{i \theta}$

Module et argument de $e^{i \theta}$

Démontrer que pour tout $\theta$ réel, $\left|e^{i\theta}\right|=1$.

Code de déblocage de la correction :

Dans le plan complexe, placer les points A, B, C, D d'affixes respectives $e^{i\times 0}$, $e^{i\times \frac{\pi}{2}}$, $e^{-i\times \frac{\pi}{4}}$ et $e^{i\times \frac{2\pi}{3}}$.

Code de déblocage de la correction :

Pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i\theta}=e^{i\theta'}$ si, et seulement si, $\theta=\theta'\ [2\pi]$.

Cette équivalence provient du fait que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument modulo $2\pi$.

Propriétés algébriques

  1. Pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}$.

  2. Pour tout $\theta$ , $e^{-i\theta}=\frac1{e^{i\theta}}$.

  3. Pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i(\theta-\theta')}=\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$.

  4. Pour tout $\theta$ , $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\frac1{e^{i\theta}}$.

  1. Démontrer que pour tout $\theta$ , $e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. Démontrer que pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i(\theta-\theta')}=\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$.

    Code de déblocage de la correction :

  3. Démontrer que pour tout $\theta$ réel, $\overline{e^{i\theta}}=\frac1{e^{-i\theta}}$.

    Code de déblocage de la correction :

Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : exponentielle $i\theta$=$e$ puissance $i$ $\theta$.

Formule de Moivre

Pour tout $\theta$ réel et tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{i n\theta}}$.

Réécriture :

Pour tout $\theta$ réel et tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)}$.

Cette formule a été démontrée en 1707 sous sa forme trigonométrique par Abraham de Moivre.
Ce mathématicien est né à Vitry-Le-Fraçois en 1667. À l'issue de la révocation de l'édit de Nantes, Abarham de Moivre, étant comme sa famille protestant, fut emprisonné pendant plus de deux ans. Une fois libéré, il s'exila en Angleterre où sa fréquentation avec les grands savants anglais de l'époque lui permit de devenir un des mathématiciens les plus renommés de son époque. C'est en Angleterre qu'il publia ses oeuvres.

Cet exemple montre bien que l'intolérance, quelle soit religieuse ou autre, conduit à une perte énorme pour une Nation.

La formule d'Abraham de Moivre permet d'exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et de $\sin(\theta)$, en saidant du binôme de Newton.

Démontre que pour tout $\theta$ réel et tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{i n\theta}}$.

Code de déblocage de la correction :

Plus généralement :

Pour tous réels $r>0$ et $r'>0$, $\theta$ et $\theta'$ , on a :

  1. $re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$.
  2. $\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}=\frac{r}{e^{i\theta}}$.
  3. $\frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}}=\frac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$.
  4. $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$

On donne $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.

  1. Déterminer la forme exponentielle de $z_1\times z_2$.

    Code de déblocage de la correction :

  2. Déterminer la forme exponentielle de $\frac{z_1}{z_2}$.

    Code de déblocage de la correction :

  3. Déterminer la forme exponentielle de $z_1^{12}$.

    Code de déblocage de la correction :

Formules d'Euler

Pour tout $\theta$ réel, $\displaystyle{\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$ et $\displaystyle{\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}$.

  1. Écrire $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$ sous forme trigonométrique

  2. En déduire les formule d'Euler.

Code de déblocage de la correction :

linéarisation de $\cos(3x)\sin(2x)$

Utiliser les formules d'Euler.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

Formules de trigonométrie

  1. Simplifier $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}$.

  2. Calculer la valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.

  3. Calculer la valeur exacte de $\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.

  4. En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi}{24}\right)$.

  5. Quelle est la valeur exacte de $\sin \left(\frac{5\pi}{24}\right)$ ?

Exprimer en fonction de $\cos(x)$ et de $\sin(x)$ l'expression $\cos \left( x+\frac{\pi}{3} \right) +\sin \left( x-\frac{\pi}{6} \right) $.

Démonter que pour tout réel $x$ : $\sin(x)+\sin\left( x+\frac{2\pi}{3} \right)+\sin\left( x+\frac{4\pi}{3} \right)=0$.

Soit $x$ un nombre réel tel que $0\lt x\lt \frac{\pi}2$ et $\displaystyle{\cos(x)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$.

  1. Calculer $\cos(2x)$.

  2. En déduire la valeur exacte de $x$.

Calculer avec la forme exponentielle

Écrire sous forme exponentielle les complexes suivants :

  1. $2\sqrt{3}-2i$
  2. Code de déblocage de la correction :

  3. $(2-2i)(3+i\sqrt{3})$
  4. Code de déblocage de la correction :

  5. $-2i(\cos(\frac{\pi}{5})+i\sin(\frac{\pi}{5}))$
  6. Code de déblocage de la correction :

  7. $(2-2i)(1+i)$
  8. Code de déblocage de la correction :

  9. $2i(\sqrt{2}+i\sqrt{6})$
  10. Code de déblocage de la correction :

Donnez le module et l'argument de chacun des nombres suivants :

  1. $\sqrt{2}e^{2i\theta}$
  2. Code de déblocage de la correction :

  3. $-e^{-i\theta}$
  4. Code de déblocage de la correction :

  5. $-2e^{i\theta}$
  6. Code de déblocage de la correction :

Soient les deux nombres complexes : $z_1 = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad z_2 = -8 - 8 \sqrt{3}\text{i}$.
On pose :$Z = \dfrac{z_1}{z_2}$.

  1. Donner la forme algébrique de $Z$.

  2. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

  3. Écrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.

  4. En déduire que la valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.

  5. En déduire la résolution de l'équation suivante dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ : $ \left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right) \cos x - \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) \sin x = -2\sqrt{3}$

Code de déblocage de la correction :

On pose $z_1=-3e^{-i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2=2-2i$.

  1. Donnez la forme algébrique de $z_1$ et de $z_1z_2$.

  2. Code de déblocage de la correction :

  3. Écrivez $z_1$, $z_2$ et $z_1z_2$ sous forme exponentielle, puis sous forme trigonométrique.

  4. Code de déblocage de la correction :

  5. Déduisez-en la valeur exacte de : $\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \textrm{ et }\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right).$

  6. Code de déblocage de la correction :

On pose $z_1=e^{i\frac{\pi}3}$, $z_2=3e^{-i\frac{\pi}4}$ et $z_3=\sqrt{2}e^{i\frac{2\pi}3}$.

Donnez une forme exponentielle des complexes suivants :

  1. $z_1z_2$
  2. Code de déblocage de la correction :

  3. $\frac{z_1}{z_2}$
  4. Code de déblocage de la correction :

  5. $z_1^3$
  6. Code de déblocage de la correction :

  7. $z_1z_2z_3$
  8. Code de déblocage de la correction :

  9. $z_3^4$
  10. Code de déblocage de la correction :

  11. $\frac{z_2}{z_3}$
  12. Code de déblocage de la correction :

Donnez une forme exponentielle de chacun des complexes suivants :

  1. $z_1=-2e^{i\frac{\pi}{3}}$
  2. Code de déblocage de la correction :

  3. $z_2=(1-i)e^{-i\frac{\pi}{6}}$
  4. Code de déblocage de la correction :

  5. $z_3=-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{5}}$
  6. Code de déblocage de la correction :

  7. $z_4=\frac{3}{e^{i\frac{\pi}{7}}}$
  8. Code de déblocage de la correction :

$(z_n)$ est la suite définie par $z_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $\displaystyle{z_{n+1}=\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}+i\right) z_n}$.

  1. Écrire $-\frac{\sqrt{3}}{3}+i$ sous forme exponentielle.

  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $\displaystyle{z_n= \left( \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^n e^{\frac{2i n\pi}3}}$.

  3. Code de déblocage de la correction :

  4. On pose pour tout entier naturel $n$ $d_n=|z_n|$.

    Démontrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2\sqrt{3}}3$.

  5. En déduire la valeur exacte de la somme $S=d_0+d_1+...+d_{19}$.

  6. Code de déblocage de la correction :

Soit $x$ un nombre réel.

  1. Développer $(\cos(x)+i\sin(x))^3$.

  2. En utilisant la formule de Moivre, exprimer $\cos(3x)+i\sin(3x)$ en fonction de $\cos(x)$ et de $\sin(x)$.

  3. Code de déblocage de la correction :

  4. Démontrer que :

    • $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$.

    • $\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)$.

  5. Code de déblocage de la correction :

    1. Développer $(a+b)^4$, où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes quelconques.

    2. À l'aide d'une formule d'Euler, démontrer que $\displaystyle{ \cos^4(x)=\frac{1}{8} \left( \cos(4x)+4\cos(2x)+3 \right)}$.

    3. En déduire la valeur de $\displaystyle{ \cos^4 \left(\frac{\pi}{8} \right) }$.

    Code de déblocage de la correction :

    1. Soit $x$ un réel quelconque. Exprimer $\sin^4 (x)$ en fonction de $\cos(2x)$ et de $\cos(4x)$.

    2. En déduire la valeur de $\displaystyle{ \sin^4 \left(\frac{\pi}{8} \right) }$.

    3. Code de déblocage de la correction :

Synthèse

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $a=2$ et $b=2e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

$I$ est le milieu de $[AB]$.

  1. Faire une figure.

    1. Trouver une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OI})$.

    2. Déterminer la forme algébrique de l'affixe de $I$.

    3. En déduire que $OI=\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

    1. Donner l'affixe de $I$ sous forme exponentielle.

    2. En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}8\right) \textrm{ et } \sin\left(\frac{\pi}8\right)$

      .

Soit $x$ un nombre réel.

  1. En écrivant $3x=2x+x$, démontrer que $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$.

  2. En déduire que $\displaystyle\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)$ est solution de l'équation $4x^3-3x-\frac{1}2=0$.

  3. Démonter que cette équation admet exactement trois solutions réelles.

  4. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\displaystyle\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)$.

  1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1+i$ et $1-i$.

  2. Code de déblocage de la correction :

  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=(1+i)^n+(1-i)^n$.

    1. Déterminer une expression simplifiée de $S_n$ suivant les valeurs de $n$.

      Code de déblocage de la correction :

    2. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

      Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.

      Affirmation B : Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.

    3. Code de déblocage de la correction :

On considère la suite géometrique $(z_n)$ de premier terme $z_0=1$ et de raison $q=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$.

On souhaite étudier la somme $S_n$ des $n+1$ premiers termes de cette suite $(z_n)$.

$$\displaystyle{S_n=\sum_{k=0}^{k=n} q^k}$$

Partie A : utilisation de programmes en langage Python pour conjecturer un résultat

  1. Compléter la fonction suivante afin qu'elle prenne en paramètre un entier n correspond au rang du terme de la suite additionné et qui renvoie la somme S des $n+1$ premiers termes de cette suite $(z_n)$.

    from math import sqrt
    def somme_termes(n):
        q = complex(sqrt(3)/2,1/2)
        ... = ...
        ... = ...
        for .........................
            ...
            ...
        return S
     
  2. Tester la fonction pour $n=1$, $n=10$, puis pour $n=11$.

  3. En négligeant les erreurs d'arrondi, que remarquez-vous ? Que pouvez-vous conjecturez quant à la suite $(S_n)$ ?

  4. En vous aidant de la fonction somme_termes, créer une fonction liste_somme qui prend en argument un entier naturel $n$ et qui renvoie la liste des $n+1$ premiers termes de la suite $(S_n)$.

  5. Utiliser cette fonction somme_termes pour tester expérimentalement la conjecture émise précédemment.

Partie B: calcul direct de la somme

  1. Écrire $q$ sous forme exponentielle.

  2. En déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

  3. En déduire une preuve (ou une invalidation) de la conjecture émise

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $(\sqrt{3}+1)^n=(1-i\sqrt{3})^n$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n$

On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

    1. Vérifier que : $ \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$.

    2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

    3. Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.

    Code de déblocage de la correction :

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}$.

    2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$

      Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

    Code de déblocage de la correction :

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}$.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.

    3. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$,\: $A_1$,\: $A_2$, \ldots , $A_n$.

      On a ainsi : $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$.

      Démontrer que la suite $\left(l_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.

    Code de déblocage de la correction :

    1. Soit $n$ un entier naturel. On souhaite représenter graphiquement la ligne brisée reliant les points $A_0$ à $A_{n}$. Pour cela : à l'aide d'un programme où l'utilisateur choisira la valeur entière de $n$.

      • On crée une fonction ligne_brisee qui prend en paramètre un entier naturel $n$

      • on stocke dans deux listes lx et ly la liste des abscisses (respectivement des ordonnées) des points définissant la ligne brisée. La fonction ligne_brisee complète progressivement ces deux listes et les renvoie.

      • Enfin, la ligne brisée est représentée

      Voici ce programme incomplet en langage Python :

      from math import sqrt, cos, sin, pi
      import matplotlib.pyplot as plt   # bibliothèque permettant d'obtenir une représentation graphique
      
      def ligne_brisee(n):
          # prise en compte de A0
          lx = [8]
          ly = [0]
          for k .........................
              # calcul des coordonnées de Ak
              x = ... 
              y = ... 
              # modification des listes lx et ly
              ...
              ...
          return ...
      
      liste_x,liste_y = ...                   # détermination de la liste des coordonnées des points de la ligne brisée
      
      plt.axis([-4,8, -4, 6])                 # limitation de la fenêtre de vision
      plt.title('ligne brisée')     # titre
      plt.axis('equal')                       # Pour avoir un repère orthonormé
      plt.grid()                              # affichage d'une grille
      plt.scatter(liste_x,liste_y)            # affichage des points trouvés
      plt.show()                              # réalisation du visuel dans une fenêtre graphique extérieure
       

      Compléter ce programme.

    2. Le tester avec $n=24$

    3. Modifier le programme pour qu'il affiche en plus la longueur de la ligne brisée.

  1. Code de déblocage de la correction :

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On pose $\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{k=n-1}\sin\left( \frac{k\pi}{n} \right)}$.

  1. Démontrer que $\displaystyle{S_n=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)} {\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}$.

  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.

Savoirs et savoirs-faire

  1. Les formules d'addition avec le cosinus et le sinus.

  2. Les formules de duplication.

  3. La notation exponentielle d'un nombre complexe.

  4. Les formules d'Euler.

  5. La formule de Moivre écrite sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.

  6. Les propriétés sur les arguments et le module.

  7. L'interprétation géométrique d'une forme exponentielle.

  8. Démontrer une des formules d'addition.

  1. Passer d'une forme algébrique à une forme exponentielle.

  2. Passer d'une forme trigonométrique à une forme exponentielle.

  3. Passer d'une forme forme exponentielle à une forme algébrique.

  4. Passer d'une forme forme exponentielle à une forme algébrique.

  5. Utiliser la forme exponentielle pour obtenir le module ou l'argument d'un produit, d'un quotient.

  6. Utiliser la forme exponentielle pour obtenir le module ou l'argument d'une puissance.

  7. Savoir linéariser une expression trigonométrique grâce aux formules d'Euler ou de Moivre.

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