Formation python niveau 2

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Généralités de base sur python

Vous pouvez vous rendre sur l'espace dédié aux généralités sur python : Espace python 1

Structure de données : tuple

Nous avons manipulé des variables avec des types simples : int, bool, float, str. Ce sont des conteneurs ne contenant qu'une valeur.

Il existe également des types de données que l'on appelle séquence. Nous allons étudier deux types de séquence : les tableaux et les p-uplets. En python, les tableaux s'appellent les listes et les p-uplets s'appellent les tuples.

Séquence

Famille indexée d'éléments par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la séquence. Il faut rapprocher ce mot au concept de suite en mathématiques.

En informatique, un tableau est une structure de données représentant une séquence finie d'éléments auxquels on peut accéder efficacement par leur position, ou indice, dans la séquence. C'est un type de conteneur que l'on retrouve dans un grand nombre de langages de programmation.

En Python, une séquence est une collection ordonnée d’objets qui permet d’accéder à ses éléments par leur numéro de position dans la séquence. Les listes et les tuples sont des séquences.

Il y a des points communs et des différences entre ces deux types.

Définition

p-uplet, tuple en python

Un p-uplet est une séquence immutable. C'est à dire une suite indexée de valeurs (de n'importe quel type) que l'on ne peut pas modifier.

En Python, un p-uplet est de type tuple.

construire les objets tuples

Construire un objet tuple en python.

Un tuple est défini à l'aide de parenthèses.


tup1=()
tup2=(3,) # tuple avec un seul élément
tup3=(1,4,5,'moto',4.6)
type(tup1) # pour accéder au type de l'objet

Vous avez à disposition un "bac à sable" pour vos tests.

Vous pouvez également utiliser jupyter ou la méthode qui vous convient le plus.

Il est important d'alimenter son cahier de bord.

accéder à un élément

Soient i un entier et t un tuple

pour accéder à l'élément i d'un tuple t on écrit
```
t[i]
```
Le premier élément d'un tuple est indexé par 0.
Le dernier élément de t en Python est accessible avec l'index -1
```
t[-1]
```
BONUS(non exigible) Pour afficher aux éléments entre l'index $i$ et l'index $j$ on utilise les slice:
```
t[i:j+1]
```
pour afficher les élément de deux en deux on pourra écrire :
```
t[i:j+1:2]
```

on donne le tuple suivant : tup=(1,4,5,'moto',(12,'nsi','génial'),4.6)

Ecrire les lignes de code qui affiche :

moto
le dernier élément du tuple
(4,5)
'nsi','génial'

Un tuple est un objet immutable : on ne peut pas réaffecter ses éléments, supprimer un élément ou encore en ajouter.

Tester ces deux lignes de codes :


	tup=(1,4,5,'moto',4.6)
	tup[3]='vive la moto !'

Un tuple est itérable. Cela signifie que l'on peut organiser une itération (boucle for) sur cette structure.

Tester les exemples suivants :

tup=(5,4,2,8,"moto")

for elt in tup : # méthode 1, elt prend à chaque tour les éléments de la séquence
	print(elt) # print est utilisée à des fins d'observation de code

for i in range(len(tup)): # méthode 2, on parcourt les indices de la séquence
	print(tup[i])

Les opérations et les méthodes sur les tuples

Opérations/méthodes	Description
Méthodes et opérations communes aux listes et tuples.
x `in` s	Renvoie True si un élément de s est égale à x, False sinon
x `not in` s	Renvoie True si aucun un élément de s n'est égale à x, False sinon
`len(s)`	Renvoie le nombre d'éléments de s
s `==` s1	Renvoie True si s et s1 sont de même type, ont la même longueur,et ont des éléments égaux deux à deux.
`s[i]`	Renvoie l'élément d'indice i de s. Le premier élément a pour indice 0.
`s[i:j]`	Renvoie une partie de l'indice i à j non inclus
`s.index(x)`	Renvoie l'indice de la première apparition de x dans s
`s.count(x)`	Renvoie le nombre d'apparitions de x dans s
`s+t`	Renvoie une nouvelle séquence concaténation de s et t.
`n*t`	Renvoie une nouvelle séquence composée de la concaténation de t avec lui même n fois.

En utilisant le code ci-dessous, vous utiliserez les méthodes et les opérations du tableau pour tester les différentes questions :

jours_1=('lundi','mardi','mercredi','jeudi','vendredi')
jours_2=('samedi','dimanche')

# Tester si samedi est un élément de jours_1

# Donner la longueur de jours_2

# Tester si jours_1 est égal à jours_2

# Donner le deuxième élément de jours_1

# Donner la partie de jours_1 entre le deuxième élément et le quatrième élément

# renvoyer l'indice de dimanche dans jours_2

# Renvoyer le nombre de samedi dans jours_2

# Créer un tuple semaine par concaténation de jours_1 et de jours_2

En utilisant un parcours de tuple avec la présence d'un indice, écrire une fonction est_dans(element,tple) qui en argument reçoit un entiers ( élément) et un tuple d'entier ( tple) qui renvoie un booleen indiquant la présence de élément dans tple.

on testera la fonction sur les scripts suivants :


est_dans(4,(1,2,3,4,5,6))

qui devrait renvoyer True


est_dans(9,(1,2,3,4,5,6))

qui devrait renvoyer False

import random 
tple=()
for i in range(1000):
    r=random.randint(1,1000)
    tple=tple+(r,) 
est_dans(400,tple)

Avez vous tous le même retour?

tuple et fonction

En Python, une fonction qui renvoie plusieurs éléments ( ex : return a,b,c ) renvoie un tuple.

def milieu(xA,yA,xB,yB) -> tuple:
	"Formule qui renvoie les coordonnées du milieu d'un segment"
	return (xA+xB)/2, (yA+yB)/2

type(milieu(1,3,-1,2))

En utilisant milieu(1,3,-1,2), comment afficher seulement l'abscisse ? L'ordonnée ?

Ecrire une fonction triangle_rect(n) qui renvoie un tuple où chaque élément est un tuple de longueur trois, ces tuples sont constitués de trois entiers a, b,c tels que $0<a\leq b\leq c < n$ et le triangle de cotés $a$, $b$ et $c$ soit rectangle. Le tuple renvoyé doit contenir tous les triplets possibles.

Par exemple triangle_rect(20) renvoie le tuple ((3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (9, 12, 15))

Les types construits : les tableaux (liste en python)

Définition

Tableau

Un tableau est une séquence mutable.

type list en Python

Une liste en Python est une séquence mutable de longueur variable.

Construire les objets list

On peut appliquer aux listes toutes les méthodes, fonctions et opérations des tuples.

une liste est définie à l'aide de crochets.

Pour initialiser en mémoire une liste vide on écrira : l=[]

Une liste est un objet mutable : on peut réaffecter ses éléments, ou en ajouter.

Tester les exemples suivants :

liste=[5,4,2,8,"moto"]
liste.append(35) # Ajout d'un élément à la fin de la liste
print(liste) # print est utilisée à des fins d'observation de code

liste[2]= 5 # Modification de l'élément d'indice 2

print(liste)

# reprendre les exemples du dessus avec un tuple

tup=(1,4,9,7,"moto",4.5)

# Vous allez rencontrer des messages d'erreur

Création en extension

La méthode append permet d'ajouter à la fin d'une liste existante un élément. On écrira :

l.append(element_a_ajouter)

liste=[3,8,"mot",True]

liste2=[] # Création d'une liste vide
liste2.append(4)

# Afficher la liste2

Création en compréhension

liste=[3,8,"mot",True]
liste1=[2*x for x in range(10)]
liste2=[2*x+1 for x in range(10)]
liste3=[x**2 for x in range(10)]
import math
liste4=[math.sqrt(x) for x in liste3]

# Afficher les différentes listes

Dans cet exercice, vous devez écrire deux scripts Python qui créent la liste des entiers de 0 à 10000 de deux méthodes différentes :

en extension
en compréhension

Créer en compréhension une liste qui contienne les nombres pairs inférieurs à 10000.
Créer en compréhension une liste qui contienne les nombres impairs inférieurs à 10000.

Tableaux et fonctions

Tester les exemples suivants :

def test(a :list)->list :
		return [x**2 for x in a if x>0],[x for x in a if x>10]
a=[-4,-3,-2,0,1,5,9,11]

Décrire le type du retour de la fonction.
Expliquer ce que fait cette fonction.

Résumé des opérations et des méthodes

Opérations/méthodes	Description
Méthodes et opérations communes aux listes et tuples.
x `in` s	Renvoie True si un élément s est égale à x, False sinon
x `not in` s	Renvoie True si aucun un élément de s n'est égale à x, False sinon
`len(s)`	Renvoie le nombre d'éléments de s
s `==` s1	Renvoie True si s et s1 sont de même type, ont la même longueur,et ont des éléments égaux deux à deux.
`s[i]`	Renvoie l'élément d'indice i de s. Le premier élément a pour indice 0.
`s[i:j]`	Renvoie une partie de l'indice i à j non inclus
`s.index(x)`	Renvoie l'indice de la première apparition de x dans s
`s.count(x)`	Renvoie le nombre d'apparitions de x dans s
s`+`t	Renvoie une nouvelle séquence concaténation de s et t.
`n*t`	Renvoie une nouvelle séquence composée de la concaténation de t avec lui même n fois.
Méthodes et opérations applicables aux listes (mais pas aux tuples).
`s.append(x)`	Ajoute l'élément x à la fin de la liste s.
`s[i] = x`	Modifie la liste et affecte la valeur x à la case d'indice i. Attention, cette case doit exister.
`s.insert(i,v)`	Insère l'élément x dans s à l'indice i . Cette méthode décale les indices suivants.
`s.remove(x)`	Supprime de la liste le premier élément dont la valeur est égale à x
`s.pop(i)`	Enlève de la liste l'élément à la position i et renvoie sa valeur. En l'absence de i, c'est le dernier élément qui est supprimé et renvoyé
`s.sort()`	Modifie la liste s en la triant
`s.reverse()`	Modifie la liste en inversant l'ordre des éléments de s

# -*- coding: utf-8 -*-
import random 

liste=[random.randint(1,6) for i in range(1000)] # Comprendre la construction de cette liste

Ecrire un script Python qui renvoie une liste contenant le nombre de 1,2,3,4,5 et 6. (on utilisera la méthode count.)

Ecrire une fonction "count" sans "count"

Ecrire une fonction compter(element,liste) qui a pour arguments un entier (element) et une liste d'entiers (liste) qui renvoie le nombre d'occurrence de élément dans liste.
Utiliser la fonction compter pour refaire l'exercice précédent.
Prolongement possible : remplacer element par une liste d'éléments dans les arguments de la fonction compter.

Les tableaux de tableaux

Les éléments d'un tableau peuvent être également un tableau. Ce type d'objet rappelle un objet mathématiques que vous verrez plus tard qui s'appelle une matrice. Cet objet est utilisé dans de nombreux domaines, notamment dans le traitement des images. Une image est une matrice de pixels.

Matrices

On appelle matrice un tableau de tableaux dont chaque tableau à la même longueur.

Chaque élément d'une matrice A est noté $a_{i,j}$ où $i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne.

On représente une matrice de taille n,m en mathématiques ainsi :

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$

En Python, une matrice est une liste de listes de même longueur.

Pour accéder à un élément organisé en liste de liste, on utilise une notation avec un double crochets. Le premier indice pointe la ligne et le deuxième indice pointe la colonne.

Si notre matrice contient n listes de m éléments on peux la voir ainsi :

$List= \begin{pmatrix} List[0][0] & List[0][1] & \cdots & List[0][n-1] \\ List[1][0] & List[1][1] & \cdots & List[1][n-1] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ List[m-1][0] & List[m-1][1] & \cdots & List[m-1][n-1] \end{pmatrix}$

Pour accéder à l'élément j de la ième liste de L on écrira :


L[i][j]

L=[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]

Ici , L[1][2]=7

L=[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]

Le premier élément de la liste L est la liste [1,2,3,4], pour l'afficher on écrit : L[0].

Le troisième élément de ce L[0] est 3, pour y accéder nous utiliserons L[0][2]

Afficher le quatrième élément du deuxième élément de la liste.
Afficher le deuxième élément du troisième élément de la liste.
Afficher l'élément indexé 0 du deuxième élément de la liste.
Afficher L[2][3].
Ajouter la valeur 26 à la deuxième liste. L est-elle encore une matrice?

On peux se servir de données structurées en liste de listes sans que ce soit des matrices.

Ecrire une fonction matriceAlea(n:int,m:int)->list Python qui renvoie une matrice à n lignes et m colonnes d'entiers aléatoires entre 0 et 100.

Exercices

Le but de cet exercice est de représenter un jeu de 32 cartes.

Un jeu de 32 cartes est composé de :

quatre couleurs : pique, cœur, carreau, trèfle
huit valeurs : roi, dame, valet,1,10,9,8,7

Modélisation du problème.
1. Comment modéliser une carte en Python?
2. Comment modéliser un jeu de cartes?
Code de déblocage de la correction :
Implémentation en Python.
Le but est d'implémenter un jeu de 32 cartes et se doter de fonctions qui permettent interagir avec ce jeu.
- Il faut typer vos fonctions. Exemple : creation_jeu32(couleur:tuple, valeur32:tuple)->list
- Il faut écrire une aide explicative docstring, entre " ", ou entre """ """" (si l'aide fait plusieurs lignes).
1. Créer une fonction creation_jeu32(couleur:tuple, valeur32:tuple)->list qui retourne une liste de 32 cartes.
2. Vérifier que le jeu possède 32 cartes
3. On veut pouvoir mélanger le jeu de 32 cartes. Il existe une fonction "shuffle(liste)" qui mélange les éléments d'une liste. Ecrire une fonction melange(jeu:list)->list qui renvoie le jeu de cartes mélangé.
4. On veut pouvoir tirer une carte au hasard du jeu. Si le jeu est mélangé, cela peut être la première carte. Il faut penser à retirer la carte du jeu. carte_hasard(jeu:list)->tuple
5. On veut pouvoir créer une "main" de 5 cartes. Une main signifie un ensemble de cartes. Ecrire une fonction main(nombre_cartes: int,jeu:list)->list: qui renvoie une main formée du nombre de cartes. Il faut penser à retirer la main créée du jeu de 32 cartes.

Vers une autre structure de données construites.
On veut pouvoir comparer des cartes pour réaliser par exemple des jeux.
1. Modélisation
  1. Comment modéliser la "force" d'une carte?
  2. Comment modéliser le jeu de cartes avec la force de chaque carte?
2. Implémentation en Python
  1. Ecrire une fonction force(carte:tuple)->int: qui renvoie la "force" de la carte.
  2. Ecrire une fonction jeu_force(jeu) qui renvoie le jeu des cartes associées à leur force .
  3. On veut comparer deux cartes. Ecrire une fonction en Python compare(carte1:tuple,carte2:tuple,jeu_force:dict)->tuple qui renvoie la carte avec la force la plus élevée.
  4. Inventer une notion de distance entre deux cartes. Ecrire une fonction distance(carte1:tuple,carte2:tuple)->int qui renvoie la "distance" entre deux cartes.

Le prolongement de cette activité est la création d'un jeu (bataille, rami, blackjack, poker, pyramide, etc.). La création d'un jeu pourra être développée dans le cadre de votre projet.

Faire une recherche sur le web sur la notion de carré magique. Un carré magique d'ordre 3 est une matrice de 3 lignes et trois colonnes dont la somme des lignes, des colonnes et des diagonales fait le même nombre.

L=[	[2,7,6],
	[9,5,1],
	[4,3,8]]

Ecrire un script Python qui vérifie que ce carré est magique. Le prolongement de cet exercice est la recherche de carrés magiques à partir de carrés à compléter.

Python considère une phrase comme une séquence. Vous pouvez réaliser des essais avec cette citation célèbre du philosophe Confusius : "Je ne cherche pas à connaître les réponses, je cherche à comprendre les questions." De quelle type de séquence se rapproche-t-on? De la liste et/ou du tuple ? Faire des tests à partir de vos connaissances en python.

# -*- coding: utf-8 -*-
citation="Je ne cherche pas à connaître les réponses, je cherche à comprendre les questions."

# Quelques tests à faire :

citation[3]
citation[4]='z'
citation.append('!')

# En chercher d'autres

En utilisant la méthode count(elt), compter le nombre de 'a' dans la citation, le nombre de 'e', le nombre de voyelles, etc.

Il existe pour les listes des méthodes très intéressantes dans le traitement des chaînes de caractères. Ce sont les méthodes split() et join(). Observer le code proposé et réaliser les affichages des listes créées. Penser à également utiliser la commande type(variables) afin de vérifier le type des variables créées.

En utilisant ces principes, comment faire pour créer une liste de mots à partir de la chaine de caractères suivante : chaine="un,deux,trois,quatre,cinq" ?

****

Extraire des groupes aléatoires.

L'objectif est de créer une fonction groupe(taille,nom_csv) qui prend pour argument un entier : taille correspondant à la taille des groupes voulus et une chaine de caractère nom_csv correspondant au nom du fichier csv qui renvoie la répartition des groupes à la bonne taille de manière aléatoire.

Le matériel nécessaire se compose d'un fichier csv téléchargeable ici

Chaque individu possède trois attribut Prénom, Nom, Race

Les individus sont des "peaux vertes" constitués d'orques et de gobelins.

Quelques aides à la réalisation de ce travail :

la bibliothèque random sert en Python à générer des nombres aléatoires :

la bibliothèque csv sert à manipuler des fichier csv, vous pouvez tester ce code pour appréhender les outils nécessaire à votre travail :


import csv
eleve=open("eleve.csv","r") #ouvre le fichier eleve.csv est le met en mémoire dans la variable eleve
reader=csv.reader(eleve) #transforme la variable eleve en un objet itérable
for row in reader:
    print(row[1])
eleve.close() #referme le fichier

Prolongement possible :

réécrire la fonction précédente qui ajoute un numero de groupe à chaque groupe.

faire en sorte de réécrire un csv avec la listes des élèves ave leur numéro de groupe.

Les dictionnaires (tableaux associatifs)

On donne la liste suivante :

# Données sur la couleur des yeux
		
# marron = "m"
# bleu = "b"
# noisette = "n"
# verts = "v"
# gris = "g"
l=['m', 'n', 'g', 'm', 'b', 'b', 'g', 'm', 'v', 'm', 'b', 'n', 'm', 'n', 'v', 'm', 'm', 'b', 'm', 'm', 'm', 'm', 'b', 'm', 'm', 'm', 'm', 'm', 'm', 'm', 'm', 'm']

Quelle information pouvez vous extraire de cette liste? Comment organiser cette information?

Définition

Le dictionnaire , de type dict en Python, est une structure de données permettant d’associer des valeurs à des clés.

C'est un type de conteneur comme les list et les tuple mais ce n'est pas une séquence. Au sens où les valeurs des tableaux ne sont pas indexés par des entiers.

Les clés peuvent être de type : str, entier, flottants, tuple ( à conditions que les tuples ne contiennent que des entiers, des flottants ou des n-uplets et pas des listes).

Les valeurs peuvent être de n'importe quel type.

A partir d’une clé, on peut alors accéder directement à la valeur qui lui est associée.

Construire les objets dict

construire un objet dict en Python

Pour créer un dictionnaire, on écrit entre des accolades les couples séparés par deux points :, chaque couple étant composé d'une clé et de la valeur correspondante.

En Python, on écrira :

{clé1:valeur1,clé2:valeur2,....}

dico={"yes":"oui", "no":"non","and":"et", "nsi":"dansletop2despé", "maths":"dansletop2desspé"}

 jours={1:"lundi",2:"mardi",3:"mercredi",4:"jeudi",5:"vendredi",6:"samedi",7:"dimanche"}


Balzac={'pnom':'Honoré de Balzac','nais':1799,'mort':1850,'romans':['Les Chouans','La Peau de chagrin','Les Contes drolatiques','Eugénie Grandet','Le Père Goriot','Le Colonel Chabert','Le Lys dans la vallée','Illusions perdues','Ursule Mirouët','La Cousine Bette','Le Cousin Pons']}

Pour chaque question déterminer si la structure proposée est un dictionnaire en identifiant les clés , les valeurs et leur type.

{"prénoms" : ["Jaime", "lansi","aimé","hans","aignan"], "âge" : 16,"1":2019}

```
{[1,2,3]:"triplet",[x,y]:"couple"}
```
```
{(1,2,3):"triplet",(x,y):"couple"}
```

{(10, 'trèfle'): 10, (9, 'trèfle'): 9, (8, 'trèfle'): 8, (7, 'trèfle'): 7}

Création en extension

Pour ajouter une couple de clé,valeur il suffit d'écrire :


d[nouvelle_clé]=nouvelle_valeur

On donne le dictionnaire suivant qui donne les résultats de Bob :


res={'nsi' :18,'maths':17,'svt':14,'français':14,'lv1':8,'physique':12,'HG':11}

Ajouter la moyenne de 12 en lv2.

Ecrire une fonction const_dico(cle,valeur) qui renvoie le dictionnaire définie par les clés et les valeurs entrées en argument.

Code de déblocage de la correction :
On donne des listes de certains joueurs de League Of Legend ainsi que leur classement et leur nombre de points :
```
pseudo=['Major Alexander','KBM Wiz', 'FNC MagiFelix','Avalanche','love camile','Nobody']
classement=[(12,1406),(1,1613),(4,1507),(9,1429),(16,1341),(11,1416)]
					
```
1. Quel le type de chacun des éléments?
2. Appliquer votre fonction const_dico(cle,valeur) sur les joueurs de LOL.
Code de déblocage de la correction :

Il existe divers procédés de construction d'un dictionnaire afin d'éviter d'ajouter les éléments un par un, en voila 2 exemples :

Création en compréhension

Comme avec les listes il est possible de construire des dictionnaire en compréhension.

Prenez le temps de lire et de comprendre et d'expliquer à l'écrit les lignes de script suivantes :


dico1={x:x**2 for x in range(1,5)}
jours='lundi','mardi','mercredi','jeudi','vendredi','samedi','dimanche'
dico={i+1:jours[i] for i in range(len(jours))}

***

Cryptographie

la fonction chr()

Pour cet exercice nous allons utiliser la fonction chr de Python qui prend en argument un entier (codé en décimal) et qui renvoie le caractère ASCII associé.

Voici une table ASCII

Décimal   Octal   Hex  Binaire   Caractère
-------   -----   ---  --------    ------
000      000    00   00000000      NUL    (Null char.)
001      001    01   00000001      SOH    (Start of Header)
002      002    02   00000010      STX    (Start of Text)
003      003    03   00000011      ETX    (End of Text)
004      004    04   00000100      EOT    (End of Transmission)
005      005    05   00000101      ENQ    (Enquiry)
006      006    06   00000110      ACK    (Acknowledgment)
007      007    07   00000111      BEL    (Bell)
008      010    08   00001000       BS    (Backspace)
009      011    09   00001001       HT    (Horizontal Tab)
010      012    0A   00001010       LF    (Line Feed)
011      013    0B   00001011       VT    (Vertical Tab)
012      014    0C   00001100       FF    (Form Feed)
013      015    0D   00001101       CR    (Carriage Return)
014      016    0E   00001110       SO    (Shift Out)
015      017    0F   00001111       SI    (Shift In)
016      020    10   00010000      DLE    (Data Link Escape)
017      021    11   00010001      DC1    (XON)(Device Control 1)
018      022    12   00010010      DC2    (Device Control 2)
019      023    13   00010011      DC3    (XOFF)(Device Control 3)
020      024    14   00010100      DC4    (Device Control 4)
021      025    15   00010101      NAK    (Negative Acknowledgement)
022      026    16   00010110      SYN    (Synchronous Idle)
023      027    17   00010111      ETB    (End of Trans. Block)
024      030    18   00011000      CAN    (Cancel)
025      031    19   00011001       EM    (End of Medium)
026      032    1A   00011010      SUB    (Substitute)
027      033    1B   00011011      ESC    (Escape)
028      034    1C   00011100       FS    (File Separator)
029      035    1D   00011101       GS    (Group Separator)
030      036    1E   00011110       RS    (Request to Send)(Record Separator)
031      037    1F   00011111       US    (Unit Separator)
032      040    20   00100000       SP    (Space)
033      041    21   00100001        !    (exclamation mark)
034      042    22   00100010        "    (double quote)
035      043    23   00100011        #    (number sign)
036      044    24   00100100        $    (dollar sign)
037      045    25   00100101        %    (percent)
038      046    26   00100110        &    (ampersand)
039      047    27   00100111        '    (single quote)
040      050    28   00101000        (    (left opening parenthesis)
041      051    29   00101001        )    (right closing parenthesis)
042      052    2A   00101010        *    (asterisk)
043      053    2B   00101011        +    (plus)
044      054    2C   00101100        ,    (comma)
045      055    2D   00101101        -    (minus or dash)
046      056    2E   00101110        .    (dot)
047      057    2F   00101111        /    (forward slash)
048      060    30   00110000        0
049      061    31   00110001        1
050      062    32   00110010        2
051      063    33   00110011        3
052      064    34   00110100        4
053      065    35   00110101        5
054      066    36   00110110        6
055      067    37   00110111        7
056      070    38   00111000        8
057      071    39   00111001        9
058      072    3A   00111010        :    (colon)
059      073    3B   00111011        ;    (semi-colon)
060      074    3C   00111100        <    (less than sign)
061      075    3D   00111101        =    (equal sign)
062      076    3E   00111110        >    (greater than sign)
063      077    3F   00111111        ?    (question mark)
064      100    40   01000000        @    (AT symbol)
065      101    41   01000001        A
066      102    42   01000010        B
067      103    43   01000011        C
068      104    44   01000100        D
069      105    45   01000101        E
070      106    46   01000110        F
071      107    47   01000111        G
072      110    48   01001000        H
073      111    49   01001001        I
074      112    4A   01001010        J
075      113    4B   01001011        K
076      114    4C   01001100        L
077      115    4D   01001101        M
078      116    4E   01001110        N
079      117    4F   01001111        O
080      120    50   01010000        P
081      121    51   01010001        Q
082      122    52   01010010        R
083      123    53   01010011        S
084      124    54   01010100        T
085      125    55   01010101        U
086      126    56   01010110        V
087      127    57   01010111        W
088      130    58   01011000        X
089      131    59   01011001        Y
090      132    5A   01011010        Z
091      133    5B   01011011        [    (left opening bracket)
092      134    5C   01011100        \    (back slash)
093      135    5D   01011101        ]    (right closing bracket)
094      136    5E   01011110        ^    (caret cirumflex)
095      137    5F   01011111        _    (underscore)
096      140    60   01100000        `
097      141    61   01100001        a
098      142    62   01100010        b
099      143    63   01100011        c
100      144    64   01100100        d
101      145    65   01100101        e
102      146    66   01100110        f
103      147    67   01100111        g
104      150    68   01101000        h
105      151    69   01101001        i
106      152    6A   01101010        j
107      153    6B   01101011        k
108      154    6C   01101100        l
109      155    6D   01101101        m
110      156    6E   01101110        n
111      157    6F   01101111        o
112      160    70   01110000        p
113      161    71   01110001        q
114      162    72   01110010        r
115      163    73   01110011        s
116      164    74   01110100        t
117      165    75   01110101        u
118      166    76   01110110        v
119      167    77   01110111        w
120      170    78   01111000        x
121      171    79   01111001        y
122      172    7A   01111010        z
123      173    7B   01111011        {    (left opening brace)
124      174    7C   01111100        |    (vertical bar)
125      175    7D   01111101        }    (right closing brace)
126      176    7E   01111110        ~    (tilde)
127      177    7F   01111111      DEL    (delete)

Quels sont les entiers qui code l'alphabet en lettre capitale?
Quels scripts faut-il écrire pour obtenir l'affichage de la lettre A et du mot NSI?
Ecrire le script Python qui permet d'obtenir une structure de données de type dict qui doit être :

Le chiffrement de César

A chaque lettre de l'alphabet on associe un nombre de à 0 à 25. On ajoute à ce nombre un nombre choisi par exemple 7. Le reste de la division euclidienne du nombre obtenue par 26 correspond au chiffre qui codera la lettre initiale.

la lettre Y est associée à 24, on lui ajoute 7 on obtient 31. Le reste de la division euclidienne de 31 par 26 est 5. Ce qui donne E. Y est donc codé par E.

Quels scripts écrire pour obtenir le code de la lettre A et du mot NSI avec un décalage de 7. Rappelez vous que le reste de la vision euclidienne de a par b s'obtient en Python ainsi : a%b
Quel script écrire pour obtenir le dictionnaire de la table de codage/décodage de l'alphabet avec la méthode du chiffrement de César avec un décalage de 7? On stockera ce dictionnaire dans une variable nommée d.

Une fonction de codage
1. Reprendre votre dictionnaire d et tester :
```
		d['A']
		d['D']
		d['E']
						
```
2. Dans le script précédent quel est le statut de 'A', 'D' et 'E'? Clé ou valeur?
3. Ecrire une fonction en Python codage(mot) qui prend en argument un chaine de caractère écrit en lettre capitale et qui renvoie le mot codé par le chiffrement de César.

Création à partir d'une liste

la fonction dict()

la fonction dict permet la conversion d'une liste de listes à deux éléments en dictionnaire.


liste=[['a',1],['b',2],['c',3]]
d=dict(liste)
print(d)

Interagir avec un dictionnaire

Accès aux éléments d'un dictionnaire

Accéder aux valeurs associés à une clé

Pour accéder à la valeur d'une clé d'un dictionnaire d on écrit :


		d[clé]

On donne le dictionnaire suivant :

Afficher les prénoms de Turing.
Afficher sa nationalité
Déterminer l'âge qu'avait Alan Turing à sa mort.

Modifier un dictionnaire

Pour modifier une valeur d'une clé d'un dictionnaire d on écrit :


d[cle]=new_value

Modifier la couleur du pantalon de Bob dans ce dictionnaire :


pantalon_Bob={'tissu':'coton','taille':'40', 'couleur':'bleu'}

Nombre d'éléments d'un dictionnaire

Pour connaitre la longueur d'un dictionnaire on utilise la fonction len

Déterminer le nombre d'éléments dans ce dictionnaire :


{0: 828, 1: 5418, 3: 469, 4: 306, 6: 833, 7: 7, 9: 3422, 2: 1690, 8: 7056, 5: 321, 18: 2333, 20: 850, 19: 798, 11: 7693, 17: 1730, 33: 782, 15: 3477, 32: 1443, 37: 475, 24: 287, 28: 1920, 42: 513, 14: 5040, 46: 1059, 25: 3464, 49: 1227, 21: 1813, 54: 2946, 41: 6034, 12: 4322, 43: 686, 51: 2917, 16: 6905, 53: 2028, 22: 2780, 10: 5907, 39: 4397, 67: 851, 71: 3434, 70: 3111, 13: 1341, 86: 18, 61: 3031, 29: 716, 79: 2302, 56: 4465, 72: 958, 66: 4054, 27: 495, 81: 4913, 82: 2831, 91: 377, 45: 1581, 73: 574, 88: 1910, 95: 4365, 93: 304, 90: 2093, 57: 2321, 38: 8675, 117: 4098, 102: 6831, 62: 256, 104: 1342, 77: 2893, 130: 2736, 97: 1041, 129: 646, 133: 20, 94: 3729, 44: 1212, 138: 4838, 84: 351, 144: 359, 123: 1448, 120: 5921, 121: 1069, 124: 668, 128: 1081, 131: 1197, 156: 189, 155: 859, 50: 1858, 69: 1725, 167: 246, 146: 3651, 35: 6752, 191: 1578, 34: 791, 194: 3051, 150: 1406, 184: 1364, 87: 5572, 175: 494, 36: 3235, 202: 5373, 192: 121, 98: 2694, 115: 5420, 75: 957, 105: 10, 85: 1551, 190: 136, 213: 235, 118: 5853, 127: 823, 188: 2109, 40: 7310, 136: 226, 110: 1287, 218: 279, 78: 1494, 76: 1841, 173: 8402, 199: 5806, 225: 3531, 180: 1438, 162: 2127, 109: 3003, 235: 5881, 114: 4217, 132: 3200, 206: 317, 176: 4538, 223: 1276, 119: 1600, 108: 659, 30: 922, 147: 199, 80: 1399, 169: 2468, 241: 60, 172: 557, 220: 4801, 134: 98, 219: 1146, 214: 2367, 205: 4218, 152: 525, 142: 3075, 245: 2401, 137: 51, 217: 1894, 242: 7900, 290: 5461, 141: 1247, 250: 695, 273: 1824, 296: 1800, 170: 2619, 286: 9, 247: 4060, 256: 353, 251: 1700, 259: 945, 221: 829, 203: 2027, 262: 1540, 149: 700, 293: 608, 107: 5829, 258: 7850, 271: 1207, 163: 1429, 92: 147, 212: 2910, 186: 5566, 151: 1003, 313: 4841, 89: 2728, 154: 6376, 348: 1191, 23: 2212, 335: 430, 356: 43, 358: 590, 230: 6334, 211: 898, 277: 452, 161: 841, 168: 129, 125: 1601, 243: 2820, 311: 2792, 249: 1466, 272: 4055, 330: 1299, 159: 576, 157: 2930, 386: 2810, 389: 4815, 379: 3097, 377: 847, 295: 862, 285: 1375, 236: 1345, 404: 3610, 216: 8192, 274: 413, 74: 2259, 349: 1875, 328: 998, 153: 65, 200: 530, 321: 1878, 164: 589, 395: 1132, 197: 1172, 68: 6773, 415: 422, 252: 5913, 158: 147, 196: 1787, 283: 1193, 351: 2880, 360: 1869, 276: 217, 233: 59, 337: 6050, 437: 2383, 418: 3354, 122: 3835, 160: 458, 446: 355, 255: 13, 231: 368, 408: 1725, 179: 5701, 346: 1454, 299: 3501, 65: 14, 442: 56, 350: 919, 479: 960, 470: 140, 116: 2912, 399: 2372, 315: 22, 398: 315, 246: 1208, 312: 4046, 339: 2770, 291: 6790, 427: 3705, 353: 44, 443: 4637, 368: 3565, 195: 3247, 491: 19, 198: 1425, 47: 1558, 177: 3139, 501: 5441, 310: 4506, 378: 1731, 322: 1807, 503: 5970, 344: 676, 317: 2853, 227: 52, 450: 2061, 465: 331, 181: 6971, 278: 1249, 325: 3146, 59: 1077, 508: 2119, 380: 1126, 60: 4877, 302: 265, 280: 195, 561: 3838, 371: 5452, 63: 4795, 459: 3125, 502: 150, 334: 545, 429: 1520, 536: 2219, 439: 212, 498: 300, 307: 2673, 309: 5929, 455: 1132, 208: 1018, 381: 2981, 563: 3124, 239: 841, 565: 6800, 268: 1489, 428: 3895, 373: 337, 581: 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5641: 6832, 8019: 8807, 7385: 5951, 2639: 6076, 9276: 4519, 8929: 5038, 6630: 699, 1741: 6493, 8799: 5829, 2815: 9337, 5466: 6298, 7757: 2091, 5874: 2279, 5013: 8072, 3029: 2939, 8080: 5958, 9419: 9297, 2601: 9436, 4244: 1482, 9048: 1307, 5846: 7831, 7505: 1064, 4038: 4366, 4439: 7617, 5187: 2804, 8550: 2642, 3196: 8877, 6907: 9334, 4412: 4259, 3824: 9430, 3474: 6404, 6217: 2054, 6119: 8328, 9522: 5545, 7736: 5099, 4901: 3284, 6732: 6665, 7451: 5013, 8774: 3433, 8817: 8670, 7358: 2111, 1960: 4560, 6724: 8509, 5433: 6737, 8606: 6477, 7057: 4425, 7748: 6898, 7175: 7799, 6594: 671, 7920: 7733, 4880: 4216, 7646: 1390, 2169: 1519, 1788: 5312, 9227: 6462, 8789: 3240, 6154: 1625, 6862: 2918, 8158: 8905, 2762: 7975, 3683: 9397, 8117: 4992, 4506: 1346, 4035: 249, 7407: 7825, 4473: 4355, 6558: 3906, 9400: 4942, 7641: 1854, 8688: 6668, 4209: 8542, 8803: 884, 7233: 103, 8888: 7666, 5131: 9144, 7621: 5157, 8680: 710, 5113: 8298, 9483: 4915, 6183: 3897, 7992: 6321, 5104: 9396, 7025: 3827, 7647: 1892, 4998: 3207, 9046: 2969, 7576: 7909, 7720: 5932, 1752: 4915, 9496: 5806, 6428: 5217, 7844: 7946, 8884: 6624, 3297: 9231, 5097: 5533, 6825: 67, 6388: 3104, 8770: 7270, 3886: 92, 1762: 5662, 8436: 6049, 4670: 1398, 7521: 8683, 9285: 6537, 9064: 7748, 7786: 3793, 8315: 1177, 6908: 7713, 6364: 6077, 6267: 116, 7921: 7344, 8256: 2896, 7176: 6076, 3965: 6540, 8975: 8924, 5919: 5634, 8431: 1539, 4150: 6477, 7486: 9431, 3398: 394, 7416: 814, 3942: 738, 8231: 2348, 1183: 3055, 1639: 7130, 8333: 7471, 2699: 9335, 8044: 3131, 7665: 4682, 7076: 9127, 7100: 4887, 8205: 6602, 4718: 4870, 7354: 8633, 6844: 2746, 7851: 4263, 9300: 4908, 8537: 3113, 4561: 3485, 8977: 8797, 5012: 6091, 7571: 5251, 7003: 2364, 2506: 3112, 5453: 653, 3184: 4290, 7286: 1529, 6576: 4459, 2848: 4742, 5085: 6608, 5581: 1369, 5971: 3088, 5678: 8682, 9214: 655, 5720: 3198, 8971: 793, 6304: 6376, 7693: 3631, 7185: 8474, 9582: 2789, 2739: 3601, 6826: 8898, 2334: 1171, 5212: 4106, 3313: 5969, 7966: 9765, 6786: 7659, 7167: 3272, 5756: 7387, 7789: 3020, 9416: 3118, 8522: 3849, 143: 6075, 7583: 6575, 6643: 586, 8777: 8345, 9625: 9326, 6456: 7901, 9595: 7579, 5583: 3132, 1423: 3660, 5312: 9689, 2605: 8440, 6544: 337, 6287: 3732, 5590: 3539, 6262: 1495, 9703: 8853, 6302: 139, 6830: 3038, 7234: 3113, 8422: 4295, 9464: 825, 3686: 3926, 2070: 6797, 6634: 7636, 9323: 1338, 5933: 1696, 4214: 5601, 5574: 700, 8035: 9002, 3157: 9125, 7204: 5453, 8093: 9618, 7881: 5408, 9667: 5471, 6997: 7617, 5207: 8771, 2379: 2520, 4022: 7666, 4063: 795, 8717: 7180, 5515: 945, 5776: 4403, 9528: 7226, 3312: 4352, 6674: 7792, 5405: 6164, 7178: 1246, 3560: 2083, 1986: 9368, 8981: 2147, 9171: 2977, 1794: 1299, 8361: 2603, 7968: 6082, 7817: 4138, 5870: 5164, 8816: 1845, 5379: 9694, 7816: 6103, 7601: 6248, 8360: 3392, 4579: 5795, 9206: 2580, 9875: 3535, 7061: 8454, 4002: 525, 6847: 7036, 5435: 6778, 6336: 4526, 4865: 2711, 1887: 8363, 6843: 7564, 6689: 6653, 7030: 3461, 9767: 851, 6518: 9641, 4754: 9631, 3214: 7091, 8649: 3783, 8970: 1824, 7043: 6435, 7445: 3885, 8292: 7396, 6397: 7596, 5467: 2379, 2239: 4960, 9829: 5915, 3708: 4656, 5023: 8674, 5086: 8714, 6814: 8084, 9241: 313, 5602: 3648, 4671: 7449, 2294: 7594, 8546: 8071}

Les méthodes values, keys et items

Dans cette partie , nous allons voir comment itérer sur un dictionnaire.

La méthode values

Pour obtenir l'ensemble des valeurs sous la forme d'une structure de données itérable d'un dictionnaire d, on utilise la méthode values.

La donnée structurée ainsi récupérée est de type dict_values, c'est un objet itérable mais non indexé.

Déterminer la moyenne de bob à l'aide d'une fonction moy(res) Python

La méthode keys

Pour obtenir la liste (de type dict_keys) d'un objet dictionnaire d on écrit :

d.keys()


res={'nsi' :18,'maths':17,'svt':14,'français':14,'lv1':8,'physique':12,'HG':11}
for i in res.keys():
	print(i)

La méthode items()

Pour obtenir l'ensemble du dictionnaire sous forme d'une donnée itérable on utilise la méthode items

d.items()


res={'nsi' :18,'maths':17,'svt':14,'français':14,'lv1':8,'physique':12,'HG':11}
for i in res.items():
	print(i)

Par défaut un dictionnaire est itérable mais alors on itère uniquement sur les clés. Ce qui justifie l'existence de la méthode items


res={'nsi' :18,'maths':17,'svt':14,'français':14,'lv1':8,'physique':12,'HG':11}
for i in res():
	print(i)

Réaliser un affichage des notes de Bob qui ressemble à cela :

Suppression d'une clé

Pour supprimer une élément d'un dictionnaire on écrit :


del(d[cle_a_suppr])

Supprimer le Français des résultats de Bob.

Opérations sur les dictionnaires

L'opérateur &

L'opérateur & permet de trouver les valeurs communes des données obtenues avec les méthode keys, values ou items de deux dictionnaires.

Il s'utilise ainsi :


d1={'10km':'lundi','fractionné 1h ':'mardi','15km':'Jeudi', '1h':'Jeudi', 'tranquille':'Samedi'}
d2={'15km':'lundi','fractionné 2h ':'mardi','10km':'Jeudi', '1h':'Jeudi', 'tranquille':'dimanche'}
d1.keys() & d2.keys()
d1.values() & d2.values()
d1.items() & d2.items()

Exercices

Voici une citation célèbre de Gandhi :

La vie est un mystère qu'il faut vivre, et non un problème à résoudre.

Créer un dictionnaire qui associe à chaque lettre (clé) son occurrence (valeur). Par exemple la lettre 'a' apparait deux fois.

Par exemple dico= {'a':2, .........}

Les ensembles

Un ensemble est une collection non ordonnée d'objets, contrairement aux séquences comme les listes et les tuples dans lesquels chaque élément est indexé. Un ensemble ne peut pas contenir de doublon.

Faire des recherches sur le web pour la notion d'ensemble set en python.

En python un set se déclare entre accolades. Exemple : a={} # Un ensemble vide

La notion d'ensemble est préférable à la liste pour effectuer un test d'appartenance.

Python offre les mêmes opérations sur les ensembles qu'en mathématiques.

On retrouve les notions d'appartenance in, d'union |, intersection &, de différence -

Analyser les différentes lignes de code accessibles dans le trinket proposé :

Analyser le code suivant :

L6=[random.randint(1,100) for i in range(100)]
L7=list(set(L6))
print(len(L7))

A l'exécution la console renvoie 66, une autre exécution renvoie 55. Comment interpéter ces résultats ?

Les ensembles de nombres vus à travers une activité sur les critères de divisibilité.

un nombre est divisible par 2( nombre pair)
un nombre est divisible par 3
un nombre est divisible par 5
un nombre est divisible par 10
un nombre est divisible par 4

Lien pour les définitions

le reste de la division entière par 2 est 0
si le nombre se termine par 0,2,4,6,8

Vous pouvez trouver différentes méthodes mathématiques, informatiques. Vous pouvez tester vos méthodes sur différents exemples.

a%b renvoie le reste de la division. Vous écrirez une fonction demo(n) qui teste tous vos critères de divisibilité et qui affiche une réponse pour chaque critère.
Vous pouvez écrire une fonction qui renvoie la liste des diviseurs d'un entier.

Les nombres premiers
Les nombres parfaits
Les nombres aimables
Les nombres abondants
Les nombres...... Trouver des idées sur le web

Les graphes

Graphe non-orienté

Exemple introductif

Vous avez décidé d'essayer de créer un réseau social Types_au_top. Pour cela, vous avez réuni vos bons amis proches et vous leur avez demandé à chacun d'en parler à leurs propres amis proches. Pour simplifier, on note A, B, ..., G et H les 8 personnes acceptant de faire partie de votre réseau social Types_au_top. Voici la liste des relation entre ces individus :

A est ami avec tout le monde sauf D et G,
B est ami avec A, D et H,
C est ami avec A, F, G et H,
D est ami avec B et H,
E est ami avec A et H,
F est ami avec A et C,
G est ami avec C et H,
H est ami avec A, B, C, D, E et G.

Malgré la faible taille de votre réseau social actuel, vous vous rendez-compte que sa description deviendra vite très obscure s'il grandi fortement, comme vous l'espérez.

Un des amis de votre réseau vous propose de visualiser votre réseau social ainsi :

Chaque membre du réseau sera modélisé par un point nommé par une lettre,
chaque relation entre deux amis sera modélisé par un trait reliant les points représentant les amis.

Afin d'illustrer sa proposition, votre ami vous propose le schéma suivant :

Ce type de représentation s'appelle un graphe (non-orienté). Ce qui est bien c'est que ce cours va détailler cette notion et que l'on verra, aussi dans un autre chapitre, des algorithmes pour les étudier. Quelle chance pour votre réseau social ! Vive la NSI !

Pour les curieux, voici le problème historique qui a conduit au développement initial des graphes.

La ville de Königsberg était une ville de Prusse puis une des principales villes de l'Empire Allemand avant d'être céder à l'URSS en 1945. Cette ville est désormais appelée Kaliningrad et fait partie de la Fédération de Russie.

Cette ville s'étendait au $XVIII^e$ siècle autour de deux îles situées sur le fleuve Pregel. Ces deux îles étaient reliées entre elles par un pont. Six autres ponts reliaient les rives de la rivière à l'une ou l'autre des deux îles, comme représenté sur le plan ci-dessous.

La légende raconte que certains habitants de cette ville cherchaient lors de promenade à passer une fois et une seule par chacun des ponts pour revenir au point de départ (évidemment, ils ne pouvaient traverser l'eau du Pregel qu'en passant par un des ponts.)

Est-ce possible ? Si oui, par quel chemin ?

Les habitants ont cherché des solutions et l'un d'eux, le grand mathématicien Euler, a réussi en 1735 à répondre à la question précédente. Pour cela, il a développé des outils mathématiques à la base de la théorie des graphes, théorie qui sera effleurée dans ce cours.

Modélisation à l'aide d'un graphe :

Une des idées d'Euler fut de modéliser la situation pour réduire à l'essentiel le problème ; il a représentée la configuration précédente des ponts dans la ville en la figure ci-dessous :

figure qui peut être déformée ainsi :

Vocabulaire sur les graphes non-orientés

Un graphe non-orienté est un ensemble formé de points, appelés sommets, reliés par des lignes, appelées arêtes.
Deux sommets reliés par une arête sont dits adjacents.
Un graphe est dit complet lorsque tous ses sommets sont adjacents.

Voici ci-dessous un graphe non-orienté qui remprésente une modélisation possible du problème des ponts de Königsberg expliqué dans la remarque historique.

Donner deux sommets adjacents du graphe ci-dessus.
Donner deux sommets non adjacents du graphe ci-dessus.
Le graphe ci-dessus est-il un graphe complet ? Pourquoi ?
Comment rendre le graphe ci-dessous complet ?

Un des amis de votre réseau travaille pour un distributeur d'électricité.

Il doit proposer à son supérieur une représentation du réseau reliant différentes villes.
Comme il n'y arrive pas trop, il voudrait que vous la lui fassiez.

Pour simplifier le problème, il a déjà renommé les villes en A, B, C, D, E et F. De plus, il vous donne les informations suivantes :

la ville A est reliée par un réseau électrique aux villes B, E et F,
la ville B est reliée par un réseau électrique aux villes A, C et D,
la ville C est reliée par un réseau électrique aux villes B, D, E et F,
la ville D est reliée par un réseau électrique aux villes B, C et F,
la ville E est reliée par un réseau électrique aux villes A, C et F,
la ville F est relié par un réseau électrique aux villes A, C, D et E.

Proposer un graphe qui modélise la situation.
Ce graphe est-il complet ? Pourquoi ?

L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.

Quel est l'ordre de ce graphe ?
Quel est le degré du sommet $A$ ?
Lister les sommets de degré 3 de ce graphe.

Liste d'adjacence

Il est possible de considérer un graphe comme une liste de sommets, liste où on associe à chaque élément la liste des sommets liés à cet élément.

Reprenons l'exemple introductif. L'ensemble des relations :

A est ami avec tout le monde sauf G,
B est ami avec A, D et H,
C est ami avec A, F, G et H,
D est ami avec B et H,
E est ami avec A et H,
F est ami avec A et C,
G est ami avec C et H,
H est ami avec A, B, C, D, E et G.

peut être vu comme une liste d'adjacence :

graphe non-orienté en langage Python

En s'inspirant des listes d'adjacence d'un graphe vues ci-dessus, une façon d’encoder un graphe sous Python est d’utiliser un dictionnaire : les clés seront les sommets du graphe et leur valeur sera la liste des sommets adjacents.

Reprenons le graphe introductif :

Le code suivant permet d'implémenter un graphe en langage Python


graphe = dict()    # création d'un dictionnaire vide 
graphe["A"] = ["B","C","E","F","H"] # liens de A vers les sommets listés
graphe["B"] = ["A","D","H"]
graphe["C"] = ["A","F", "G","H"]
graphe["D"] = ["B","H"]
graphe["E"] = ["A","H"]
graphe["F"] = ["A","C"]
graphe["G"] = ["C","H"]
graphe["H"] = ["A","B","C","D","E","G"]

Rappels :

Vous avez vu l'an dernier dans le cours sur les dictionnaires, qu'il est possible :

d'obtenir l'ensemble des clés avec la méthode keys() en sachant que graphe.keys() est un itérable,
d'obtenir l'ensemble des clés avec la méthode values() en sachant que graphe.values() est un itérable.

En s'aidant de la remarque précédente, proposer une fonction ordre en langage Python qui reçoit en paramètre un dictionnaire et renvoie l'ordre de ce graphe.
Tester votre fonction ordre en utilisant le graphe de l'exemple introductif, implémenté en langage Python ci-dessus.

Écrire une fonction sommets_adjacents qui prend en paramètre un dictionnaire ainsi qu'un sommet sous forme de chaîne de caractères et qui renvoie la liste des sommets adjacents à ce sommet entré comme paramètre.
Tester la fonction sommets_adjacents sur le sommet $A$.
Proposer des préconditions.
Proposer une fonction lister_aretes qui prend en paramètre un dictionnaire et renvoie la liste des arêtes d'un graphe. Une arête sera représentée par un tuple à deux éléments. ( Attention aux doublons)

Parcours sur un graphe non-orienté

Dans un graphe non-orienté, on appelle chaîne une suite d'arêtes consécutives reliant deux sommets (éventuellement confondus).
La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui composent la chaîne.
Une chaîne fermée est une chaîne dont l'origine de la première arête et l'extrémité de la dernière arête sont confondues.
Un cycle est une chaîne fermée dont les arêtes sont distinctes.
Un graphe est dit connexe si deux sommets distincts quelconque peuvent être reliés par une chaîne.

On considère le graphe non-orienté suivant :

Quel est l'ordre du graphe ?
Quel nom peut porter la chaîne $B - C - E - B$ ? Quelle est sa longueur ?
Déterminer une chaîne de longueur 8 reliant $E$ à $A$
Déterminer un cycle d'origine $G$.
Le graphe est-il connexe ?

Proposer un graphe qui n'est pas connexe.

Graphe orienté

Exemple de graphe orienté

Voici une carte où sont positionnées 6 lieux notés A, B, C, D, E et F dans le centre ville de Vitry-le-François.

On cherche à modéliser les trajets possibles simples permettant de relier directement en voiture ces positions : pour cela on utilise encore un graphe.

Cependant, comme il y a des sens unique, certains trajets ne peuvent se faire que dans un sens. On va donc utiliser des flèches pour modéliser un trajet possible entre deux points. On obtient ainsi le graphe suivant :

Ce type de graphe est appelé un graphe orienté.

Vocabulaire

Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont orientées : chaque arête ne peut être parcourue que dans le sens de la flèche.
Ces arêtes orientées sont aussi appelés arc.
Dans un graphe orienté, on appelle chemin de longueur $n$ une succession de $n$ arcs tels que l'extrémité de chacun est l'origine du suivant (sauf pour le dernier arc).
On dit que le chemin est fermé lorsque l'origne du premier arc coïncide avec l'extrémité du dernier.
Un chemin fermé composé d'arcs tous distincts est appelé circuit.

Proxémie des termes suivant l'orientation ou non du graphe :

Graphe non-orienté	Graphe orienté
arête	arc
chaîne	chemin
cycle	circuit

Voici de nouveau le graphe d'introduction :

On peut se rendre du sommet $C$ vers le sommet $E$ mais pas du sommet $E$ vers le sommet $C$ : c'est donc un graphe orienté.
On peut se rendre du sommet $B$ vers le sommet $A$ et du sommet $A$ vers le sommet $B$ : deux arcs sont nécessaires.
À partir du sommet $C$, on peut se rendre au sommet $C$ grâce à un circuit : $ C - B - D - C$.
Le chemin $ A - B - C - E - D - B$ est un chemin de longueur 5.
Le chemin $A - B - D - E - F - A$ est un circuit de ce graphe.

Le graphe suivant représente le plan d’une ville. Les arcs du graphe représentent ses avenues commerçantes, en prenant en compte le sens de circulation, et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

Est-ce un graphe orienté ou non-orienté ? Pourquoi ?
Quel est l'ordre du graphe ?
Proposer un chemin de longueur 4 d'origine $F$ et d'extrémité $B$.
Proposer un circuit passant par tous les sommets.

Bibliothèque `networkx`

Le but de cette partie est d'étudier le graphe orienté précédent sur Python.

Nous utiliserons la bibliothèque networkx.

Vous pourrez retrouver l'exercice ci-dessous sous forme de TP jupyter-notebook ici.

Pour implémenter le graphe de l'exercice précédent, il vous suffit de saisir progressivement les instructions suivantes :

Commencer par importer le module networkx, sous l'alias nx ici.

Code de déblocage de la correction :
Créer un graphe orienté vide avec le script nx.DiGraph():

Code de déblocage de la correction :
Ajouter au graphe chaque sommet (appelé node) avec la méthode add_node:

Code de déblocage de la correction :
Ajouter au graphe chaque arc (appelé edge) avec la méthode add_edges_from:

Code de déblocage de la correction :

Pour ajouter à un graphe non-orienté des arêtes, il suffit d'utiliser la méthode add.edges au lieu de add.edges_from.

Pour visualiser le graphe utiliser ce script:

nx.draw(graphe, node_size=800,node_color='blue', edge_color='red',with_labels=True)
plt.show()   # pour visualiser le graphique créé

Vous devez voir apparaître une fenêtre contenant une figure proche de celle-ci :

Les flèches correspondent aux traits plus épais de la liaison entre dans deux sommets.

Il est possible d'intégrer séparément toutes les options du tracé du graphique ainsi :

# ensemble des options
options = {
    'node_size' : 800,   # taille des sommets
    'node_color' : 'blue', # couleur de fond des sommets
    'edge_color' : 'red', # couleur des arcs
    'with_labels' : 'True',  # avec le nom des sommets 
    }                                    
nx.draw(graphe, **options)
plt.show()   # pour visualiser le graphique créé

Cela permet entre autre de définir une fois pour toutes les caractéristiques des tracés pour les utiliser pour chacun des graphes : cohérence dans la présentation générale.

Pour des compléments et des précisions sur l'utilisation du module networkx, vous pouvez consulter :

cet excellent site en français.
ou ce tutoriel officiel en anglais.

La bibliothèque networkx contient aussi différentes méthodes portant sur les graphes, sommets et arcs :

Une documentation complète est disponible à cette adresse.

Utiliser les méthodes et fonctions de la bibliothqèe networkx pour :

obtenir le degré du sommet 'A' du graphe de l'exercice précédent.

Code de déblocage de la correction :
obtenir le nombre de sommets de ce graphe.

Code de déblocage de la correction :
obtenir le nombre d'arcs de ce graphe.

Code de déblocage de la correction :
obtenir la liste des sommets voisins au sommet 'D' de ce graphe.

Code de déblocage de la correction :
Tester aussi la méthode successors avec :
```
graphe.successors('E')
        
```
Tester aussi la méthode predecessors avec :
```
graphe.predecessors('E')
        
```

Matrice d'adjacence d'un graphe

On a déjà vu qu'il est possible d'implémenter un graphe à l'aide d'une liste de listes d'adjacence. Une seconde implémentation est possible : avec une matrice d'adjacence. Voici un exemple introductif.

Exemple introductif

Un journaliste britannique d’une revue consacrée à l’automobile doit tester les autoroutes françaises. Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes villes françaises : Bordeaux ($B$),Lyon ($L$), Marseille ($M$), Nantes ($N$), Paris ($P$) et Toulouse($T$). Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci-dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les arêtes les liaisons autoroutières entre ces villes.

Plutôt que de représenter la situation par un graphe, le journaliste visualise le réseau avec un tableau dans lequel il met 1 s'il existe une liaison directe entre les deux villes correspondant à la case et 0 sinon. Il obtient donc le tableau ci-dessous :

Villes	$B$	$L$	$M$	$N$	$P$	$T$
$B$	0	1	0	1	1	1
$L$	1	0	1	1	1	1
$M$	0	1	0	0	0	1
$N$	1	1	0	0	1	0
$P$	1	1	0	1	0	1
$T$	1	1	1	0	1	0

Par exemple, il existe une autoroute reliant directement Paris $P$ à Nantes $N$, donc il y a le nombre 1 dans les cases repérées par $N$ et $P$ ; il n'existe pas d'autoroute reliant directement Marseille $M$ à Bordeaux $B$, donc il y a le nombre 0 dans les cases repérées par $M$ et $B$.

Pour synthétiser l'information (en mémorisant le fait que les villes sont rangées dans l'ordre alphabétique), il suffit de considérer le tableau extrait contenant les données chiffrées. On peut appeler ce tableau matrice. Voici la matrice représentant la situation :

$$G = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &1 &1 &1 \\ 1 &0 &1 &1 &1 &1\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1\\ 1 &1 &0 &0 &1 &0 \\ 1 &1 &0 &1 &0 &1\\ 1 &1 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} $$

Définition

La matrice associée à un graphe d'ordre $n$ est la matrice carrée de taille $n$, où le terme de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne est égal au nombre d'arêtes (ou d'arc) partant du sommet $i$ pour arriver au sommet $j$.

Cette matrice s'appelle la matrice d'adjacence de ce graphe.

Un graphe orienté a aussi une matrice d'adjacence.

Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées taxiways. Les sommets du graphe sont les intersections. Les arcs du graphe représentent les voies de circulation (les « taxiways ») en prenant en compte le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute(s).

Ici, on ne prend pas en compte ici les distances, mais seulement l'existence ou non d'un arc partant d'un sommet et aboutissant à un autre.

Dans la matrice d'adjacence pour un graphe orienté :

Chaque ligne correspond à un sommet de départ,
chaque colonne correspond à un sommet d'arrivée,
un 1 au niveau du terme de la ligne i et de la colonne j signfie l'existence d'un arc qui part du sommet correspondant à la ligne i et qui pointe vers le sommet correspondant à la colonne j,
un 0 au niveau du terme de la ligne i et de la colonne j signfie l'absence d'un arc qui part du sommet correspondant à la ligne i et qui pointe vers le sommet correspondant à la colonne j.

Pour simplifier, les sommets sont rangés par ordre croissant, on a donc :

Ainsi, on a par exemple :

Il y une liaison directe de $A$ vers $B$, donc le deuxième coefficient ($2^{ème}$ car l'arrivée $B$ est le deuxième sommet) de la première ligne (celle du départ $A$) vaut 1.
Il n'y a pas de liaison directe de $C$ vers $A$, donc le premier coefficient (colonne correspond à l'arrivée $A$) de la troisième ligne (celle du départ $C$) est 0.

Ainsi, la matrice $M$ d'ajacence du graphe de cet exemple est

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).
Cette matrice est-elle symétrique (par rapport à la diagonale descendante) ? Pourquoi ceci était-il prévisible ?

D'un graphe vers matrice en langage Python.

On reprend l'exercice précédent :

En vous aidant du travail déjà effectué lors de l' exercice 10, implémenter en Python le graphe orienté ci-dessus.
Voici un programme à rajouter à la suite du programme précédent ; l'objectif est que la matrice M corresponde à la fin à la matrice d'adjacence du graphe :
```
liste = ['A','B','C','D','E','F']
n = len(liste)
M = [[0]*n for i in range(n)]
for i in range(n):
    for j in range(n):
        ...................... 
            M[i][j] = 1
        
```
1. Que permet le ligne M = [[0]*n for i in range(n)] ?
2. compléter le programme en remplaçant la ligne ............... par un script qui permet d'avoir la matrice d'adjacence stockée dans M.

Le module networkx contient aussi une fonction permettant d'obtenir la matrice d'adjacence : adjacency_matrix.

Cependant, Le type de données de cette matrice obtenue avec M = adjacency_matrix(graphe) peut être vu comme une sorte de dictionnaire de dictionnaires, où la clé est un couple de nombres, nombres correspondant à des deux sommets définissant un arc et où la valeur correspond au nombre d'arcs reliant ces deux sommets.

Or, les nombres des couples des clés ne correspondent pas forcément aux mêmes sommets lors de deux exécutions identiques.

Ainsi, nous n'utiliserons pas cette méthode ensemble.

Dans cet exercice, vous allez construire un graphe à partir d'une matrice d'adjacence.

Une matrice, étant une sorte de tableau à deux dimensions, peut être implémentée en langage Python sous la forme d'une liste de listes.

On considère la matrice d'adjacence suivante :

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Implémenter cette matrice en exécutant le code suivant

import networkx as nx  #import de cette bibliothèque gérant les graphes
# importer aussi la bibliothèque suivante afin de représentaer graphiquement le graphe :
import matplotlib.pyplot as plt  

# matrice d'adjacence :
M = [[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
[1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0],
[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]]

Cette matrice représente les liens d'amitié dans un réseau social de 8 personnes : Ada, Bryan, Carla, Duc, Elie, Felix, Grace, Hector. (l'ordre alphabétique permet de retrouver l'ordre d'apparition dans la matrice d'ajacence.)

Explications :
Le fait que M[0][1]=1 signifie Qu'Ada considère Bryan comme un ami ; le fait que M[2][0]=0 signifie Que Carla ne considère pas Ada comme un amie .

Proposer une fonction creer_graphe qui prend en paramètre une matrice d'ajacence et une liste de noms et qui renvoie le graphe associé à cette matrice.
Tester la fonction avec la matrice précédente.
Représenter graphiquement le graphe du réseau social des 8 personnes mentionnées ci-dessous dont est donnée la matrice d'adjacence.

N'hésitez pas à reprendre une partie des codes déjà utilisés afin de gérer le tracé.

Vous devez obtenir un graphique proche de celui-ci :

Graphe pondéré

Dans de nombreux problème concret, il peut être utile de rajouter une information chiffrée au niveau des arcs ou des arêtes d'un graphe.

Reprenons l'exemple historique des ponts de Königsberg.

Nous avons vu dans l'exemple introductif historique que le problème concret peut être modélisé par le graphe suivant :

On peut modifier ce graphe en ne prenant en compte que le nombre de trajets simples permet de relier deux lieux, on a alors :

modélisation nombre de trajets avec poids

À ce graphe pondéré, on peut associer la matrice suivante :

$$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

On peut modifier le graphe en prenant en compte la distance la plus courte pour relier deux lieux correspondant à des sommets adjacents (le 0 signifiant ici que l'arête n'existe pas). On a alors :

modélisation distance la plis courte avec poids

À ce graphe pondéré, on peut associer la matrice suivante :

$$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 1.5 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \\ 1.5 & 3 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

On peut modifier le graphe en prenant en compte le temps minimum , en minutes, pour relier deux lieux correspondant à des sommets adjacents (le 0 signifiant ici que l'arête n'existe pas). On a alors :

À ce dernier graphe pondéré, on peut associer la matrice suivante :

$$\begin{pmatrix} 0 & 14 & 10 & 17 \\ 14 & 0 & 0 & 25 \\ 10 & 0 & 0 & 21 \\ 17 & 25 & 21 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Dans le chapitre sur les algorithmes sur les graphes, l'absence d'un arc entre deux sommets conduira à mettre comme coefficient $\infty$ plutôt que 0.

On appelle graphe pondéré

tout graphe dans lequel chaque arête d'un (ou arc) est affectée nombre réel positif appelé poids de cet arête (ou de cet arc).

En rangeant les sommets par ordre alphabétique, déterminer la matrice associée à ce graphe orienté pondéré.
Implémenter cette matrice en Python en tant que tableau de tableaux.

On considère un réseau électrique reliant 5 villes appelées "Lorin", "Magis", "Nolin", "Outa" et "Permi".

Les distances du réseau électrique reliant ces villes est donné par la matrice d'adjance suivante :

$$\begin{pmatrix} 0 & 30& 0 & 35 & 0 \\ 30 & 0 & 97 & 0 & 45 \\ 0 & 97 & 0 & 51 & 59 \\ 35 & 0 & 51 & 0 & 40 \\ 0 & 45 & 59 & 40 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

L'objectif est de pouvoir implémenter le graphe pondéré associé à ce type de matrice d'adjacence où les termes sont les poids.

Proposer une fonction matrice_vers_liste qui :
- prend comme premier paramètre matrice une matrice d'adjacence de type d'un tableau de tableaux, matrice qui contient les poids du graphe pondéré,
- prend comme second paramètre noms une liste de chaînes de caractères qui correspond aux noms des sommets, sommets appraissant dans l'ordre de la matrice,
- renvoie un dictionnaire dont les clés sont les sommets et les valeurs sont une liste de tuples au format ("nom_sommet",poids)
Utiliser cette fonction matrice_vers_liste pour créer le graphe pondéré associé à la matrice d'adjacence donnée au début de l'exercice.
Obtenir une représentation graphique de ce graphe.

idée venant de Nathalie Daval : accès au document ayant donné l'idée.

Profitant de vacances, vous partez à la Réunion pour oublier l'informatique.

Mais à peine arrivé.e.s à l'aéroport de Saint-Denis de la Réunion, vous voilà coincé.e.s dans un bouchon.

Par chance, le conducteur vous donne des informations sur le temps pour parcourir le trajets entre différents lieux de la ville.

Grâce aux compétences acquises en NSI, vous avez traduit les informations données par le conducteur par ce graphe pondéré :

irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/Cours_Graphes.pdf

Dans ce plan, pour simplifier les notations suivantes ont été prises : M correspondant à La Montagne, H pour Hôpital, C pour Cimetière, U pour Université, A pour Aéroport et R pour Rivière des pluies.

Implémenter le graphe pondéré sous forme d'un dictionnaire où les clés sont les sommets et les valeurs sont une liste de tuples au format ("sommets",temps)
Proposer une fonction dict_vers_matrice qui :
- prend comme paramètre graphe un dictionnaire où les clés sont les sommets et les valeurs sont une liste de tuples au format ("sommets",temps),
- renvoie un tuple constitué de la matrice d'adjacence associée au graphe pondéré et de la liste des sommets du graphe.

Pour revoir une explication complète sur les graphes et le vocabulaire, vous vouvez visionner la vidéo accessible ici.

Quelques exemples de programmes

Vous pouvez vous rendre dans l'espace python1 pour voir les exemples de programmes proposés :

Une approximation de pi

L'idée ici pour obtenir une approximation de pi est de créer des points au hasard dans un carré de coté 2 et de compter ceux qui se trouvent dans un disque de rayon 1 inscrit dans le carré.

Pour cela on peut utiliser l'instruction random qui renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1. (Shift Entrée pour exécuter les blocs de code

Pour la représentation en nuage de points : ici

A l'aide de la random() du module random écrire une fonction pointAleatoire() renvoyant les coordonnées d'un point aléatoires et dans l'intervalle [-1;1].

Code de déblocage de la correction :
Créer une fonction estDansLeDisque(xA,yA) renvoyant un booleen : True si le point A est dans le disque unité et False sinon.

Code de déblocage de la correction :
Ecrire une fonction compteurAffiche(n) qui renvoie le nombre de points du disque unité parmis n points lancés aléatoirement dans le carré et qui affiche les points dans le disque.

Code de déblocage de la correction :

Ecrire une fonction demo() qui demande à l'utilisateur le nombre de points voulu pour l'approximation, qui affiche l'approximation obtenue ainsi que le nombre de points dans le disque et qui affiche l'ensemble des points dans le disque. On pourra ajouter le tracé du cercle et du carré avec le module numpy.

Une autre approximation de pi

Une autre façon d'obtenir une approximation de $\pi$ est de considérer le quart du disque unité et de le découper en rectangle et d'ajouter la surface de chaque rection pour obtenir une approximation de $\pi$.

Ecrire une fonction pi_rect(n) qui renvoie une approximation de $\pi$ à partir de n rectangles et qui affiche une représentation du quart de cercle et des rectangles.

Suites imbriquées

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0=1$, $y_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ :

$$\left \{ \begin{array}{l} x_{n+1} = \frac73x_n+\frac13y_n+1 \\ y_{n+1} = \frac{20}3x_n+\frac83y_n+5 \\ \end{array} \right. $$

Ecrire une fonction suites(n) qui affiche une liste des couples $(x_i;y_i)$ pour $i\leq n$ et qui propose une représentation de ces points.

Complexe et Python

Voici un exemple d'exercice proposé aux élèves de l'option mathématiques expertes.

$(0 ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexes.

Pour la figure, on pendra pour unité 5 cm.

On considère la suite $(z_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} z_0=0\\ z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i) z_n-1+i \textrm{, pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.$

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point du plan complexe qui a pour affixe $z_n$

1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$ , $z_2$, $z_3$ et $z_4$.
2. Placer, dans le plan complexe, les points $M_0$, $M_1$ , $M_2$, $M_3$ et $M_4$.
Voici une fonction Suite_1 écrite dans le langage Python.

from cmath import *
def Suite_1(n):
	z=0
	for i in range(1,n+1):
		z=(1+1j)/2*z-1+1j
	return z

Saisir cette fonction et l'exécuter pour $n=1$, $n=2$, $n=3$ et $n=4$. Quels rsultats retrouve-t-on ainsi ?

Pour rappel :
On importe le module cmath pour travailler avec les nombres complexes. Les complexes se notent : 1+1j, 3j, -1+0j, ...

Utiliser cette fonction pour obtenir $z_5$ , $z_6$, $z_7$ et $z_8$.
Placer, dans le plan complexe, les points $M_5$, $M_6$ , $M_7$ et $M_8$.

$(Z_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $Z_n=z_n+2$.

Quel est le vecteur dont l'affixe est $Z_n$ ?
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $Z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i)Z_n$.

Ecrire l'expression de $Z_{n+1}$ et mettre $1+i$ en facteur.

Déterminer $Z_0$.
Ecrire en langage Python, une fonction Suite_2 qui, pour une valeur $n$ du paramètre renvoie le nombre complexe $Z_n$.
Saisir ce programme à l'aide de cette fonction, conjecturer une propriété des nombres $Z_{4k}$ et $Z_{4k+2}$, pour $k$ nombre entier naturel.

Exécuter ce programme pour des paramètres de la forme $4k$ et $4k+2$.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_n=\dfrac{(1+i)^n}{2^{n-1}}$.
  En déduire l'exprerssion de $z_n$ en fonction de $n$.
2. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $(1+i)^{4k}$ est un nombre réel et $(1+i)^{4k+2}$ est un imaginaire pur.
  Que peut-on en déduire pour les points $M_{4k}$ et $M_{4k+2}$ ?
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|Z_n|=2\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$
2. Quelle est la limite de la suite $(|Z_n|)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
3. Interpréter géométriquement ce résultat.

Simulation d'une variable aléatoire

Un aperçu du fichier jupyter proposé en téléchargement.

Le zip à télécharger ici

Une animation avec Python

Fluctuation des fréquences de succès. Animation tirée de l'espace Eduscol. Ressources n°8 d'Eduscol

Statistiques à deux variables

Faire des regressions linéaires en STS en utilisant python.

Le fichier jupyter à télécharger ici

Des exemples sur les graphes

Un ensemble d'exemples utilisant la biblithèque networkx.

Le fichier jupyter à télécharger ici

Faire du calcul formel avec python

Vous pouvez utiliser la bibliothèque SimPy pour faire du calcul formel.

Vous avez un tutoriel de la bibliothèque avec une console pour faire vos tests : Accès direct

Vous pouvez retrouver également dans le jupyter cidessous quelques exemples :

Le fichier jupyter à télécharger ici

Etude d'une marche aléatoire

Cet exemple utilise un utilitaire de représentation des graphes qui s'appelle grahviz.

Une vidéo pour l'utilisation de cet utilitaire :

Le fichier jupyter à télécharger ici Le fichier dirmaths à télécharger ici

La cryptographie

Un aperçu des fichiers jupyter proposés en téléchargement.

Le zip à télécharger ici

Ressources supplémentaires

Des ressources eduscol

Il y a (pour l'instant) 13 ressources sur le site eduscol : accès direct

Vous pouvez lire ici le préambul de ces ressources :

Le site France IOI

Sur le site FranceIOI, vous avez la possibilité de créer un groupe et demander aux élèves de s'inscrire à ce parcours.

Vous pourrez visualiser l'avancée des élèves.

Site france IOI

Quelques impressions écrans du site.

docshare/doctools

En attendant un jupyter hub, vous pouvez tester cette application. Il faut créer des comptes pour vos élèves (c'est assez simple à faire) et ensuite créer une activité (Par exemple python, scratch, géogébra, etc) que vous pouvez suivre.

Accès direct

Une vidéo de présentation :

Le lien vers le document : Accès au document

Demandez le programme !

Généralités de base sur python

Structure de données : tuple

Définition

construire les objets tuples

Les opérations et les méthodes sur les tuples

tuple et fonction

Les types construits : les tableaux (liste en python)

Définition

Construire les objets list

Création en extension

Création en compréhension

Résumé des opérations et des méthodes

Les tableaux de tableaux

Exercices

Les dictionnaires (tableaux associatifs)

Définition

Construire les objets dict

Création en extension

Création en compréhension

Création à partir d'une liste

Interagir avec un dictionnaire

Accès aux éléments d'un dictionnaire

Modifier un dictionnaire

Nombre d'éléments d'un dictionnaire

Les méthodes values, keys et items

Suppression d'une clé

Opérations sur les dictionnaires

Exercices

Les ensembles

Les graphes

Graphe non-orienté

Exemple introductif

Vocabulaire sur les graphes non-orientés

Liste d'adjacence

graphe non-orienté en langage Python

Parcours sur un graphe non-orienté

Graphe orienté

Exemple de graphe orienté

Vocabulaire

Bibliothèque networkx

Matrice d'adjacence d'un graphe

Exemple introductif

Définition

Graphe pondéré

Quelques exemples de programmes

Une approximation de pi

Une autre approximation de pi

Suites imbriquées

Complexe et Python

Simulation d'une variable aléatoire

Une animation avec Python

Statistiques à deux variables

Des exemples sur les graphes

Faire du calcul formel avec python

Etude d'une marche aléatoire

La cryptographie

Ressources supplémentaires

Des ressources eduscol

Le site France IOI

docshare/doctools

Un mémo Python

L'ensemble de ce site

Un espace d'aides avec des fichiers jupyter

Bibliothèque `networkx`