Dans le plan complexe, on note $\mathcal{E}$, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z=z^2$ soit un réel.

Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$, puis le représenter graphiquement dans un repère orthonormé $(0 ; \vec{u},\vec{v})$.

1. Dans le plan complexe, placer les points $D(2-i)$, $E(6-i)$ et $F\left(4+(2\sqrt{3}-1)i\right)$.

2. Montrer que le triangle $DEF$ est équilatéral.

3. Calculer l'aire du triangle $DEF$.

Code de déblocage de la correction :

On donne les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=2+5i$ et $z_B=-3i$. $M$ désigne un point du plan complexe d'affixe $z$.

1. Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AM}$, et $\overrightarrow{BM}$.

   Code de déblocage de la correction :

2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ tel que : $|z-2-5i|=|z+3i|$.

   Code de déblocage de la correction :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On donne le point $A$ d'affixe $1-i$.

1. $M$ est un point d'affixe $z$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan dont l'affixe vérifie $|z-1+i|=2$

1. 1. Déterminer un argument du nombre complexe $z=-1+i\sqrt3$.

   2. Soit $z_1$ un nombre complexe tel que $|z_1|=3$ et $arg(z_1)=\dfrac{3\pi}{2} ~[2\pi]$. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_1$.

   Code de déblocage de la correction :

2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$.

   1. Déterminer un argument du nombre complexe $z_2=1+i$. On note $M_2$ le point d'affixe $z_2$.

   2. Déterminer dans le repère orthonormé $(O ; \vec{u},\vec{v})$, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $arg(z)= \dfrac{\pi}{4} ~[2\pi]$

   Code de déblocage de la correction :

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.\]

On se place dans le plan complexe d'origine $O$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.

   Code de déblocage de la correction :

   2. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points $O$, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.

   Code de déblocage de la correction :

2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $z_n = \dfrac{(1 + \text{i})^{n+1}}{2^n}.$

   Code de déblocage de la correction :

   2. En déduire pour quelles valeurs de $n$ les points $A_n$ appartiennent-ils à l'axe des abscisses ?

   Code de déblocage de la correction :

Dans tout l'exercice, le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)$.

On donne les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et $z_B=2i$.

1. 1. Donner une forme trigonométrique de $z_A$ et $z_B$.

   2. Placer avec précision ces points sur une figure.

2. $F$ est le point d'affixe $z_F=z_A+z_B$.

   1. Placer sur la figure le point $F$.

   2. Donner la forme algébrique de $z_F$.

   3. Démontrer que $OAFB$ est un losange.

3. $U$ est le point d'affixe 1 dans le repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)$.

   1. Justifier que $\widehat{UOF}=\dfrac{5\pi}{12}$ et écrire une forme trigonométrique de $z_F$.

   2. Démontrer alors que : $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

À tout nombre complexe $z$, différent de $-i$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z'=\dfrac{1+iz}{1-iz}$.

On note $M$ le point d'affixe $z$, et $M'$ le point d'affixe $z'$

On se propose de déterminer l'ensemble des nombres complexes $z'$ lorsque $z$ est un réel.

1. Donner la forme algébrique de $z'$ dans chacun des cas suivants :

   • $z=3$

   • $z=-4$

   • $z=i$

   • $z=1+i$

2. Conjecture avec un logiciel de géométrie

1. Sur la figure ci-dessous, nous avons place un point $M$ d'affixe $z$, sur l'axe des abscisses.

   Saisissez :

2. Déplacer la point $M$ afin de conjecturer la nature de l'ensemble des nombres complexes $z'$.

3. 1. Démontrer que si $z$ est un nombre réel, alors $z'$ appartient à l'ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module 1.

   2. La réciproque de l'implication précédente est-elle vraie ? Le démontrer.

Déterminer les points $M$ d'affixe non nulle $z$ du plan complexe tels que $z$, $\dfrac{1}{z}$ et $1+z$ aient le même module.

$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes $z_A=1$, $z_B=i$ et $z_C=3+2i$. $M$ désigne un point du plan complexe d'affixe $z$.

1. Écrire en fonction de $z$ les normes des vecteurs $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{CM}$.

2. Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ tel que : $|z-1|=|z-i|$ et $|z-3-2i|\leq 2$.

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z_n$ par : on considère la suite $(z_n)$ définie par :

On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

1. 1. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.

   2. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous (ou sur une feuille).

   3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.

   4. Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.

2. 1. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

   2. La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

   3. Interpréter géométriquement le résultat précédent.

3. On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.

   Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$

   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.

   2. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.

   3. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.

4. Le but est désormais d'obtenir l'ensemble des indices $n$ tels que $z_n$ soit un nombre imaginaire pur.

   1. Compléter le script suivant de sorte que la fonction suite_z renvoie l'expression de $z_n$ dans le cas où l'entier $n$ est saisi comme argument.

      def suite_z(n):
      	z = ...
      	for ...
      		z = ...
      	return z 

      complexe(2,3) permet en langue Python de travailler avec le nombre complexe $2+3i$.

   2. Compléter le script suivant de sorte que solutions(n) renvoie la liste de tous les nombres entiers naturels $m$ compris entre 0 et $n$ tels que $z_m$ soit un imaginaire pur.

      def solutions(n):
      	lst = []
      	...
      		if suite_z(...)...
      			... 
      	return lst 

   3. En s'aidant du script précédent que pouvez-vous conjecturer quant à l'ensemble des nombres entiers $n$ tels que $z_n$ soit un nombre complexe imaginaire pur ?

   4. Démontrer la conjecture émise quant à l'ensemble précédemment conjecturé.

Code de déblocage de la correction :

$(0 ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexes.

Pour la figure, on pendra pour unité 5 cm.

On considère la suite $(z_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} z_0=0\\ z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i) z_n-1+i \textrm{, pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.$

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point du plan complexe qui a pour affixe $z_n$

1. 1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$ , $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

   2. Placer, dans le plan complexe, les points $M_0$, $M_1$ , $M_2$, $M_3$ et $M_4$.

2. Voici une fonction Suite_1 écrite dans le langage Python.

def Suite_1(n):
	z=0
	for i in range(1,n+1):
		z = complex(1,1)/2*z-1+complex(0,1)
	return z 

1. Saisir cette fonction et l'exécuter pour $n=1$, $n=2$, $n=3$ et $n=4$. Quels résultats retrouve-t-on ainsi ?

Pour rappel :
complex(x,y)permet d'obtenir en Python le nombre complexe $x+iy$.
Les complexes se notent : 1+1j, 3j, -1+0j, ...

En cas de difficulté avec votre environnement de développement, vous pouvez travailler en ligne sur trinket avec ce lien.

2. Utiliser cette fonction pour obtenir $z_5$ , $z_6$, $z_7$ et $z_8$.

3. Placer, dans le plan complexe, les points $M_5$, $M_6$ , $M_7$ et $M_8$.

3. $(Z_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $Z_n=z_n+2$.

1. Quel est le vecteur dont l'affixe est $Z_n$ ?

2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $Z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i)Z_n$.

Ecrire l'expression de $Z_{n+1}$ et mettre $1+i$ en facteur.

3. Déterminer $Z_0$.

4. Ecrire en langage Python, une fonction Suite_2 qui, pour une valeur $n$ du paramètre renvoie le nombre complexe $Z_n$.

5. Saisir ce programme à l'aide de cette fonction, conjecturer une propriété des nombres $Z_{4k}$ et $Z_{4k+2}$, pour $k$ nombre entier naturel.

Exécuter ce programme pour des paramètres de la forme $4k$ et $4k+2$.

En cas de difficulté avec votre environnement de développement, vous pouvez travailler en ligne sur trinket avec ce lien.

4. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_n=\dfrac{(1+i)^n}{2^{n-1}}$.
      En déduire l'exprerssion de $z_n$ en fonction de $n$.

   2. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $(1+i)^{4k}$ est un nombre réel et $(1+i)^{4k+2}$ est un imaginaire pur.
      Que peut-on en déduire pour les points $M_{4k}$ et $M_{4k+2}$ ?

5. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|Z_n|=2\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.

   2. Quelle est la limite de la suite $(|Z_n|)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   3. Interpréter géométriquement ce résultat.

   Code de déblocage de la correction :