Soient les deux nombres complexes : $z_1 = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad z_2 = -8 - 8 \sqrt{3}\text{i}$.
On pose :$Z = \dfrac{z_1}{z_2}$.

1. Donner la forme algébrique de $Z$.

2. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

3. Écrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.

4. En déduire que la valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.

5. En déduire la résolution de l'équation suivante dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ : $ \left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right) \cos x - \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) \sin x = -2\sqrt{3}$

$(z_n)$ est la suite définie par $z_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $\displaystyle{z_{n+1}=\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}+i\right) z_n}$.

1. Écrire $-\frac{\sqrt{3}}{3}+i$ sous forme exponentielle.

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $\displaystyle{z_n= \left( \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^n e^{\frac{2i n\pi}3}}$.

Code de déblocage de la correction :

3. On pose pour tout entier naturel $n$ $d_n=|z_n|$.

   Démontrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2\sqrt{3}}3$.

4. En déduire la valeur exacte de la somme $S=d_0+d_1+...+d_{19}$.

Code de déblocage de la correction :

1. 1. Développer $(a+b)^4$, où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes quelconques.

   2. À l'aide d'une formule d'Euler, démontrer que $\displaystyle{ \cos^4(x)=\frac{1}{8} \left( \cos(4x)+4\cos(2x)+3 \right)}$.

   3. En déduire la valeur de $\displaystyle{ \cos^4 \left(\frac{\pi}{8} \right) }$.

   Code de déblocage de la correction :

2. 1. Soit $x$ un réel quelconque. Exprimer $\sin^4 (x)$ en fonction de $\cos(2x)$ et de $\cos(4x)$.

   2. En déduire la valeur de $\displaystyle{ \sin^4 \left(\frac{\pi}{8} \right) }$.

   Code de déblocage de la correction :

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $a=2$ et $b=2e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

$I$ est le milieu de $[AB]$.

1. Faire une figure.

2. 1. Trouver une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OI})$.

   2. Déterminer la forme algébrique de l'affixe de $I$.

   3. En déduire que $OI=\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

3. 1. Donner l'affixe de $I$ sous forme exponentielle.

   2. En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}8\right) \textrm{ et } \sin\left(\frac{\pi}8\right)$

      .

Soit $x$ un nombre réel.

1. En écrivant $3x=2x+x$, démontrer que $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$.

2. En déduire que $\displaystyle\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)$ est solution de l'équation $4x^3-3x-\frac{1}2=0$.

3. Démonter que cette équation admet exactement trois solutions réelles.

4. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\displaystyle\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)$.

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1+i$ et $1-i$.

Code de déblocage de la correction :

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=(1+i)^n+(1-i)^n$.

   1. Déterminer une expression simplifiée de $S_n$ suivant les valeurs de $n$.

      Code de déblocage de la correction :

   2. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

      Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.

      Affirmation B : Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.

   Code de déblocage de la correction :

On considère la suite géometrique $(z_n)$ de premier terme $z_0=1$ et de raison $q=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$.

On souhaite étudier la somme $S_n$ des $n+1$ premiers termes de cette suite $(z_n)$.

Partie A : utilisation de programmes en langage Python pour conjecturer un résultat

1. Compléter la fonction suivante afin qu'elle prenne en paramètre un entier n correspond au rang du terme de la suite additionné et qui renvoie la somme S des $n+1$ premiers termes de cette suite $(z_n)$.

   from math import sqrt
   def somme_termes(n):
       q = complex(sqrt(3)/2,1/2)
       ... = ...
       ... = ...
       for .........................
           ...
           ...
       return S
    

2. Tester la fonction pour $n=1$, $n=10$, puis pour $n=11$.

3. En négligeant les erreurs d'arrondi, que remarquez-vous ? Que pouvez-vous conjecturez quant à la suite $(S_n)$ ?

4. En vous aidant de la fonction somme_termes, créer une fonction liste_somme qui prend en argument un entier naturel $n$ et qui renvoie la liste des $n+1$ premiers termes de la suite $(S_n)$.

5. Utiliser cette fonction somme_termes pour tester expérimentalement la conjecture émise précédemment.

Partie B: calcul direct de la somme

1. Écrire $q$ sous forme exponentielle.

2. En déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire une preuve (ou une invalidation) de la conjecture émise

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $(\sqrt{3}+1)^n=(1-i\sqrt{3})^n$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n$

On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

1. 1. Vérifier que : $ \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$.

   2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

   3. Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.

   Code de déblocage de la correction :

2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}$.

   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$

      Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

   Code de déblocage de la correction :

3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}$.

   2. En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.

   3. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$,\: $A_1$,\: $A_2$, \ldots , $A_n$.

      On a ainsi : $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$.

      Démontrer que la suite $\left(l_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.

   Code de déblocage de la correction :

4. 1. Soit $n$ un entier naturel. On souhaite représenter graphiquement la ligne brisée reliant les points $A_0$ à $A_{n}$. Pour cela : à l'aide d'un programme où l'utilisateur choisira la valeur entière de $n$.

      • On crée une fonction ligne_brisee qui prend en paramètre un entier naturel $n$

      • on stocke dans deux listes lx et ly la liste des abscisses (respectivement des ordonnées) des points définissant la ligne brisée. La fonction ligne_brisee complète progressivement ces deux listes et les renvoie.

      • Enfin, la ligne brisée est représentée

      Voici ce programme incomplet en langage Python :

      from math import sqrt, cos, sin, pi
      import matplotlib.pyplot as plt   # bibliothèque permettant d'obtenir une représentation graphique
      
      def ligne_brisee(n):
          # prise en compte de A0
          lx = [8]
          ly = [0]
          for k .........................
              # calcul des coordonnées de Ak
              x = ... 
              y = ... 
              # modification des listes lx et ly
              ...
              ...
          return ...
      
      liste_x,liste_y = ...                   # détermination de la liste des coordonnées des points de la ligne brisée
      
      plt.axis([-4,8, -4, 6])                 # limitation de la fenêtre de vision
      plt.title('ligne brisée')     # titre
      plt.axis('equal')                       # Pour avoir un repère orthonormé
      plt.grid()                              # affichage d'une grille
      plt.scatter(liste_x,liste_y)            # affichage des points trouvés
      plt.show()                              # réalisation du visuel dans une fenêtre graphique extérieure
       

      Compléter ce programme.

   2. Le tester avec $n=24$

   3. Modifier le programme pour qu'il affiche en plus la longueur de la ligne brisée.

Code de déblocage de la correction :