Voici un programme écrit en pseudo-langage en lien avec cette modélisation du trafic arrivant à un terminal informatique :

x prend la valeur entière -1
s prend la valeur 0
Tant que s≤0.01 faire
	s prend la valeur s-ln(random())/700
	x prend la valeur x+1
Fin Tant que
Afficher x

On admet que la loi exponentielle de paramètre $\lambda=700$ est simulée par l'instruction -ln(random())/700 où random() est un générateur de nombre aléatoire entre 0 et 1.

1. Quel est le signe de ln(random())/700 ?

2. L'algorithme peut-t-il afficher -1 ? Si oui à quelle condition ?

3. L'algorithme peut-t-il afficher 0 ? Si oui à quelle condition ?

4. L'algorithme peut-t-il afficher 1 ? Si oui à quelle condition ?

5. Combien de fois la boucle Tant que doit-elle être exécutée pour que l'algorithme affiche la valeur 2 ?

6. Interpréter le sens des variables x et s de cet algorithme dans le contexte de la simulation du trafic arrrivant à un terminal informatique.

1. Programmer l'algorithme précédent en langage C++ ou télécharger et lancer directement sur Xcas ce fichier qui contient le programme précédent écrit dans un langage exécutable directement sur Xcas.
   Pour l'exécuter sur Xcas, il suffit d'appuyerant sur la touche OK.

2. Lancer plusieurs fois le programme précédent afin de recopier et compléter le tableau suivant en notant le nombre de paquets de données simulés arrivant au terminal durant un centième de seconde :

   Exécution numéro	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   Nombre de paquets

3. Estimer le nombre moyen de paquets arrivant durant 0.01 seconde lorsque le paramètre est $\lambda=700$.

4. Reproduire et compléter la phrase conclusive suivante :
   En moyenne, il semble qu'il y a en moyenne environ ... paquets arrivant sur le terminal en 0.01 seconde.

On désire effectuer 10000 simulations de la variable $X$ puis de représenter la variable $X$ en obtenant l'histogramme donnant la probabilité en fonction du nombre de paquets arrivés.

1. Modifier le programme précédent en C++ afin d'obtenir une telle simiulation ainsi que l'histogramme voulu ou plus simplement télécharger et exécuter sur Xcas ce fichier en appuyant sur la touche OK.

2. Voici deux représentations graphiques obtenues en lançant deux fois ce programme :

   Lecture : en abscisse est placé le nombre de paquets arrivés (centre de l'intervalle) tandis que l'ordonnée correspond à la fréquence où ce nombre est obtenu lors de la simulation de 10000 simulations.

   1. Obtient-on toujours le même histogramme ?

   2. Pourqoui ?

   3. Les histogrammes semblent-ils grandement différés ?

3. On cherche à approcher l'histogramme obtenu avec le programme précédent par une loi particulière. Voici la représentation graphique de l'histogramme précédent superposé de la loi dite "de Poisson de paramètre 7".

   

   Ce graphique est issu de la simulation obtenue sur Xcas avec ce fichier.

   Que pensez-vous de cette approximation ?

Dans une entreprise, on considère que la probabilité d’obtenir un article défectueux à la sortie d’une chaîne de fabrication est $p=0.05$. Lors d’un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 articles.
Bien que ce prélèvement soit exhaustif, nous considérons que la production est suffisamment importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à 120 tirages avec remise, donc indépendants, d’un article non défectueux ou non.
On note $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre d’articles défectueux d’un tel échantillon de 120 articles.

1. Déterminer la loi suivie par la variable $X$.

2. Calculer $E(X)$.

3. Grâce à un tableur, on a obtenu le tableau des premières valeurs de la loi suivie par $X$ :

   Voici ci-dessous, une table des valeurs de la loi de Poisson suivant différentes valeurs du paramètre $\lambda$ :
   

   Trouver une valeur du paramètre $\lambda$ telle que les valeurs de la loi suivie par $X$ et de celles de la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ soient proches.

4. Voici différentes comparaisons entre la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ et de celle de Poisson de paramètre $\lambda = n\times p$ : L'approximation de la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda=n\times p$ est-elle toujours pertinente ?

5. Voici une animation Geogebra permettant visuellement de comparer les deux lois : Proposez des critères sur $n$ et sur $p$ qui semblent assurer que l'on puisse assurer l'approximation d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Dans une banque, qui est ouverte sans interruption à midi, une étude statistique a montré que, lors de la pause déjeuner du personnel (par rotation entre 12h et 13h), le taux moyen d’arrivée est de 8 clients par heure le lundi.
$X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de clients se présentant à la banque entre 12h et 13h un lundi.
On admet que $X$ suit une loi de Poisson.

1. Quel est le paramètre de cette loi ?

2. Quelle est la probabilité pour que la banque reçoive 10 clients entre 12h et 13h un lundi ?

3. Quelle est la probabilité pour que la banque reçoive plus de 15 clients entre 12h et 13h un lundi ?

4. Dans au plus 95% des cas, quel est le nombre de clients reçus au maximum entre 12h et 13h un lundi ?

Le nombre moyen de clients qui se présentent à la caisse d'un kiosque de centre ville sur un intervalle de 10 minutes est de 15.
Quelle est la probabilité qu'aucun client ne se présente à la caisse dans un intervalle de 3 minutes ?

Une compagnie d'assurances assure un parc de 200 véhicules contre un risque qui a une probabilité égale à 0.5% de survenir.
Chaque véhicule rapporte 160€ à la compagnie tandis que la compagnie verse 10000€ par sinistre.
On admet que la variable aléatoire $Y$ qui à tout parc de 200 véhicules associe le nombre de sinistres suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui au nombre de sinistres fait correspondre la somme acquise ou due par la compagnie.

1. Déterminer la valeur de $\lambda$.

2. Calculer $P(X=2000)$.

3. Quelle est la probabilité que la compagnie réalise un bénéfice ?

4. Exprimer la variable aléatoire $X$ en fonction de la loi variable aléatoire $Y$.

5. Quelle est l'espérance de gain pour la compagnie d'assurance ?

Une entreprise fabrique un certain type de jouets électroniques.
On admet que la probabilité que la durée de vie d’un tel jouet, prélevé au hasard dans la production, soit strictement supérieure à 29.8 milliers d’heures est 0.025.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 160 jouets, associe le nombre de jouets dont la durée de vie est strictement supérieure à 29.8 milliers d’heures.

1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. Déterminer les valeurs de $E(Y)$ et de $\sigma(Y)$.

3. On admet qu’on peut approcher la loi de probabilité de $Y$ par une loi de Poisson.
   Donner son paramètre $\lambda$.

4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que : $P(Y\le n)\ge 0.9$.

Une société s’occupe de la saisie informatique de documents.
Pour chaque document, une première saisie est retournée, pour vérification, au client correspondant.
Les résultats demandés seront données sous forme de valeurs décimales arrondies à $10^{-3}$.
Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est fixé à 2 semaines.
Une étude statistique a montré que la probabilité qu’une saisie prélevée au hasard soit effectivement retournée au client dans le délai fixé est égale à 0.9.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $n$ saisies prélevés au hasard par tirage avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n’a pas été respecté.

1. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?

   2. Pour cette question, on suppose que $n=100$. Calculer la probabilité $P(X=8)$.

2. Pour cette question, on suppose que $n=100$.
   On admet que la loi de probabilité de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.

   1. Donner la paramètre de cette loi de Poisson.

      On note désormais $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson définie à cette question.

   2. Calculer une valeur approchée de chacune de la probabilité $P(Y=10)$.

   3. Calculer une valeur approchée de chacune de la probabilité $P(Y \gt 12)$.