Comment utiliser cette page Web ?

Présentation générale

Cette page du site monlyceenumique.fr vous permet d'affermir votre maîtrise sur les fractions à travers 3 compétences :

  1. Savoir écrire une puissance,

  2. Savoir multiplier des puissances,

  3. Savoir diviser des puissances,

Le but est de travailler sur les notions qui vous posent le plus de difficultés sur les puissances afin de progresser.

Surtout n'hésitez pas à appeler votre enseignant au cours de la séance en classe !

En fin de la page, vous trouverez un pdf vous permettant de chercher d'autres exercices. Les réponses non détaillées apparaîtront en bas de page.

Enfin, afin que vous perceviez le fait que les mathématiques sont un outil qu'il est important de maîtriser dans pleins de domaines de la vie, une dernière partie vous permettra de découvrir comment la maîtrise des compétences travaillées dans la page permettent de répondre à un problème concret. Les méthamatiques, quel enrichisement culturel !

Test

Veuillez répondre à chacune des questions ci-dessous en saisissant votre réponse sous forme de nombre avant de cliquer sur le bouton Valider.

  1. Écrire sous forme décimale (avec des chiffes) le nombre $A=10^7$ :

  2. Écrire sous forme décimale (avec des chiffes) le nombre $B=10^{-4}$ :

  3. Si on écrit le nombre $C=1/8$ sous forme d'une puissance de 2, quel sera l'exposant de 2 ?

  4. Si on écrit le nombre $D=10^3\times 10^2$ sous forme d'une puissance de 10, quel sera l'exposant de 10 ?

  5. Si on écrit le nombre $E=(3^2)^5$ sous forme d'une puissance de 3, quel sera l'exposant de 3 ?

  6. Si on écrit le nombre $F=\dfrac{3^2}{3^6}$ sous forme d'une puissance de 3, quel sera l'exposant de 3 ?

  7. Si on écrit le nombre $G=\dfrac{3^6\times 3^3}{3^2}$ sous forme d'une puissance de 3, quel sera l'exposant de 3 ?

  8. Écrire sous forme décimale (avec des chiffes) le nombre $H=10^{2}+10^{3}$ :

  9. Si on écrit le nombre $G=4\times 3^2$ sous forme d'une puissance dont l'exposant de 2. Quel sera le nombre sous l'exposant ?

Une fois que vous avez répondues à chacune des questions, cliquez sur le bouton ci-dessous afin d'afficher la liste des compétences à retravailler :

Savoir écrire une puissance

Méthode

Une puissance est une manière d'écrire de manière condensée des multiplications répétées.

Plus précisément, si $a$ est un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul, on note $a^n$ le produit $\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a \times a}_{\text{le facteur }a\text{ apparaît }n\text{ fois}}$.

Par convention, pour tout réel $a$, on pose $a^0=1$ (tout nombre élevé à la puissance 0 donne 1).

Les puissances sont très utiles en sciences pour noter de grands nombres à l'aide des puissances de 10.

Exemples

$A=10^6=10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10=1 000 000$ ; $10^6$ est une puissance de $10$.
$B=5^3=5\times 5\times 5=125$ ; $5^3$ est une puissance qui se lit "5 au cube".
$C=7^2=7\times 7=49$ ; $7^2$ est une puissance qui se lit "7 au carré".

Exercices

Écrire les puissances suivantes à l'aide de produits puis sous forme décimale :

  1. $A=2^3\times5^2$.

  2. $B=2\times 10^3$.

  3. $C=4^0+4^2+3^2$.

Cliquer pour afficher les solutions

  1. $A=\color{red}{2^3}\times\color{blue}{5^2}=\underbrace{\color{red}{2\times 2\times 2}\times\color{blue}{5\times 5}}_{\text{sous forme de produits}}$ $=\color{red}{8}\times\color{blue}{25}$ $=\underbrace{200}_{\text{sous forme décimale}}$.

  2. $B=2\times \color{blue}{10^3}=\underbrace{2\times\color{blue}{10\times 10\times 10}}_{\text{sous forme de produits}}$ $=2\times\color{blue}{1000}$ $=\underbrace{2000}_{\text{sous forme décimale}}$.

  3. $C=\color{red}{4^0}+\color{blue}{4^2}+\color{green}{3^2}=\color{red}{1}+\color{blue}{4\times 4}+\color{green}{3\times 3}$ $=\color{red}{1}+\color{blue}{16}+\color{green}{9}$ $=26$.

Écrire les nombres suivants sous forme d'une puissance ou d'un produit de puissances :

  1. $A=2\times2\times5\times2$.

  2. $B=50000$.

  3. $C=3\times 3\times(-3)\times3$.

  4. $D=7\times 5\times7\times7\times 5\times7\times 5\times 5\times 5\times 5$.

Cliquer pour afficher les solutions

  1. $A=2\times2\times5\times2$ $=\color{red}{2\times2\times2}\times5$ $=\color{red}{2^3}\times5$.

  2. $B=50000=5\times 10000$.
    Il y a quatre $0$ dans $10000$. Ainsi, $10000=10^4$.
    Ainsi, $B=5\times 10^4$.

  3. $C=3\times 3\times(\color{blue}{-3})\times3$ $=3\times 3\times\color{blue}{(-1)\times3}\times3$ $=\color{blue}{-}\color{red}{3\times 3\times3\times3}$ $=-\color{red}{3^4}$ (ici le signe $-$ n'est pas dans la puissance du fait de l'absence de parenthèses).

  4. $D=7\times 5\times7\times7\times 5\times7\times 5\times 5\times 5\times 5$ $=\color{red}{7\times7\times7\times7}\times \color{blue}{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}$ $=\color{red}{7^4}\times \color{blue}{5^6}$.

Savoir multiplier par une puissance

Méthode

Quels que soient les réels $a$ et $b$ et les entiers $n$ et $p$, on a :

  1. $a^n\color{red}{\times} a^p=a^{n\color{red}{+}p}$ (pour multiplier des puissances de même base, il suffit d'additionner les exposants).

  2. $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

  3. $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ (distributivité du produit).

Attention ! Il n'existe pas de formule pour additionner des puissances !

  1. $a^n+a^p \neq a^{n+p}$,

  2. $a^n+b^n \neq (a+b)^n$.

Exemples

Énoncé : Calculer les puissances suivantes.

  1. $2^5\times 2^3=2^{5+3}=2^8 (=256)$.

  2. $(10^2)^3=10^{2\times 3}=10^6 (=1000000)$.

  3. $5^4\times 2^4=(5\times 2)^4=10^4 (=10000)$ (On peut regrouper deux puissances de même exposant en cas de produit).

Exercices

Écrire sous forme de puissance, si possible, chacun des nombres suivants :

  1. $A=2^2\times 2^4\times 2$.

  2. $B=(3^2)^4$.

  3. $C=3^2+4^2$.

  4. $D=3^2\times 4^2$.

  5. $E=10^3\times 3\times 9 \times 10^9$.

Cliquer pour afficher les solutions

  1. $A=\color{red}{2^2\times 2^4}\times \color{blue}{2}$ $=\color{red}{2^{2+4}}\times \color{blue}{2^1}$ $=\color{red}{2^{6}}\times \color{blue}{2^1}$ $=2^{6+1}$ $=2^7$.

  2. $B=(3^2)^4$ $=3^{2\times 4}$ $=3^8$.

  3. Attention ! $C=3^2+4^2\neq 7^2$ même si $3+4=7$ car il n'y a pas de formule pour additionner des puissances ; il faut repasser par la forme décimale.
    $C=3^2+4^2=9+16=25=5^2$.

  4. $D=3^2\times 4^2$ $=(3\times 4)^2$ $=12^2$

  5. $E=10^3\times 3\times 9 \times 10^9$ $=\color{red}{10^3\times 10^9} \times 3\times 9$ $=\color{red}{10^{3+9}} \times \color{blue}{3}\times 3^2$ $=10^{12} \times \color{blue}{3^1} \times 3^2$ $=10^{12} \times 3^{1+2}$ $=10^{12} \times 3^3$ $=10^{12} \times 27$ $=27 \times 10^{12}$.

Savoir diviser des puissances

Méthode

Pour les puissances de $10$ :

Quel que soit les entiers naturels $n$ et $p$, on a :

  1. $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$ (Remonter une puissance au numérateur revient à changer le signe de l'exposant),

  2. $\dfrac{10^n}{10^p}=10^{n-p}$ (Diviser deux puissances de même base revient à soustraire les exposants),

  3. $10^{-n}$ peut s'écire sous forme décimale comme $\underbrace{0,00...01}_{\text{1 en }n\text{ième position derrière la virgule}}$

Plus généralement :

Quels que soient les réels non nuls $a$ et $b$ et les entiers $n$ et $p$, on a :

  1. $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$. (inverser une puissance revient à changer le signe de l'exposant)

  2. $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$. (pour diviser des puissances de même base, il suffit de soustraire les exposants).

  3. $\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}$. (Distributivité)

Exemples

  1. $\dfrac{3}{10^6}=3\times\dfrac{1}{10^6}=3\times 10^{-6}=3\times 0,000001=0,000003$.

  2. $\dfrac{3^2}{3^4}=3^{2-4}=3^{-2}$.
    De plus, $3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$.

  3. $\displaystyle{\frac{6^4}{3^4}=\left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4}$ $(=16)$.

Exercices

Simplifier les expressions suivantes pour les écrire à l'aide de puissances :

  1. $A=\displaystyle{\frac{1}{10^2}\times\frac{10^3}{10^5}\times 10^{-4}}$ (écrire ce nombre sous forme d'une puissance de $10$ puis sous forme décimale),

  2. $B=\displaystyle{\frac{2^3\times(2\times 2^{-2})^5}{2^{-1}\times 2^{2}}}$,

  3. $C=\displaystyle{\frac{10^3\times 3\times 10^4 \times (-4) \times 10^{-2}}{2\times 10^{-5}\times 6\times 10^6\times 10^{-2}}}$.

Cliquer pour afficher les solutions

  1. $A=\displaystyle{\color{red}{\frac{1}{10^2}}\times\color{blue}{\frac{10^3}{10^5}}\times 10^{-4}}$ $=\displaystyle{\color{red}{10^{-2}}\times\color{blue}{10^{3-5}}\times 10^{-4}}$ $=\displaystyle{\color{red}{10^{-2}}\times\color{blue}{10^{-2}}\times 10^{-4}}$ $=10^{\color{red}{-2}+\color{blue}{(-2)}+(-4)}$ $=10^{-8}$ ($=0,00000001$ le $1$ se trouvant en 8ième position derrière la virgule).

  2. $B=\displaystyle{\frac{2^3\times(\color{red}{2\times 2^{-2}})^5}{\color{blue}{2^{-1}\times 2^{2}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^3\times(\color{red}{2^{1+(-2)}})^5}{\color{blue}{2^{-1+2}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^3\times(\color{red}{2^{-1}})^5}{\color{blue}{2^{1}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^3\times(\color{red}{2^{(-1)\times5}})}{\color{blue}{2^{1}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^3\times(\color{red}{2^{-5}})}{\color{blue}{2^{1}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^{3+\color{red}{(-5)}}}{\color{blue}{2^{1}}}}$ $=\displaystyle{\frac{2^{-2}}{\color{blue}{2^{1}}}}$ $=\displaystyle{2^{-2-\color{blue}{1}}}$ $=\displaystyle{2^{-3}}$.
    Ainsi, $B=\displaystyle{2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}}$.

  3. $C=\displaystyle{\frac{10^3\times 3\times 10^4 \times (-4) \times 10^{-2}}{2\times 10^{-5}\times 6\times 10^6\times 10^{-2}}}$ $=\displaystyle{\frac{3 \times (-4) \times \color{red}{10^3\times 10^4\times 10^{-2}}}{2\times 6\times \color{blue}{10^{-5}\times 10^6\times 10^{-2}}}}$ $=\displaystyle{\frac{-12 \times \color{red}{10^{3+4+(-2)}}}{12\times \color{blue}{10^{-5+6+(-2)}}}}$ $=\displaystyle{\frac{-12 \times \color{red}{10^{5}}}{12\times \color{blue}{10^{-1}}}}$ $=\displaystyle{-\frac{\color{red}{10^{5}}}{\color{blue}{10^{-1}}}}$ $=\displaystyle{-10^{\color{red}{5}-\color{blue}{(-1)}}}$ $=\displaystyle{-10^{6}}$.
    Ainsi, $C=-10^6=-1000000$.

Feuille d'exercices supplémentaires

Vous pouvez télécharger une feuille d'exercices supplémentaires sur les puissances.
Un rappel de cours en début de cours et la réponse attendue en bas de page doivent vous aider à réussir les exercices les plus simples de cette feuille.
Si vous avez rencontrez des difficultés, soit vous m'appelez en cours, soit vous me présentez vos problèmes à la prochaine séance.

Quel enrichissement culturel !

Maîtriser les bases en mathématiques peuvent à la fois être plaisant et valorisant intellectuellement mais aussi cela vous permet de comprendre plein de choses dans des domaines très variés.
Voici un exemple d'utilité des fractions dans un domaine a priori éloigné des mathématiques : les dimensions de notre monde.

Quel peut être l'ordre de grandeur du nombre de planètes habitables dans l'univers observable ?
Quel est la proportion d'espace occupé par le noyau d'un proton au sein d'un atome d'hydrogène ?

Vos compétences acquises sur les puissances vont vous permettre de répondre à ces questions !

  1. La NASA estime qu'il y aurait dans l'univers de l'ordre de $2\times 10^{11}$ galaxies (cf. article de la NASA ).
    La NASA estime qu'il y aurait dans notre galaxie de l'ordre de $3\times 10^8$ exoplanètes habitables dans notre galaxie (cf. communiqué de la NASA).

    En supposant que la moyenne de planètes habitables dans une galaxie correspond au nombre de telles exoplanètes dans notre galaxie, estimer, grâce à une opération sur les puissances, le nombre de planètes habitables dans l'univers observable.

  2. Il est estimé qu'un proton est en gros d'une taille de $10^{-15}$ mètres. (cf. résumé d'un article du CNRS ).
    Il est estimé qu'en moyenne l'électron orbitant autour d'un noyau d'hydrogène se trouve 100000 plus loin que le rayon d'un proton. (cf. site d'où est issue l'information ).

    1. Déterminer la distance moyenne (sous forme de puissance de 10) entre un proton et un électron en mètre.

    2. Supposons pour simplifier que le proton est une boule de rayon $10^{-15}$ tandis que l'atome d'hydrogène est une boule dont la rayon correspond à la distance moyenne de l'électron par rapport au proton.
      Sachant que le volume d'une boule de rayon $r$ est donné par la formule $\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$, exprimer la proportion occupée par le noyau d'un atome par rapport au volume global.
      Exprimer ce nombre sous forme d'une puissance de $10$.

    Ainsi, la matière environnante est surtout constituée de vide !

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