1. A l'aide de la random() du module random écrire une fonction pointAleatoire() renvoyant les coordonnées d'un point aléatoires et dans l'intervalle [-1;1].

   Code de déblocage de la correction :

2. Créer une fonction estDansLeDisque(xA,yA) renvoyant un booleen : True si le point A est dans le disque unité et False sinon.

   Code de déblocage de la correction :

3. Ecrire une fonction compteurAffiche(n) qui renvoie le nombre de points du disque unité parmis n points lancés aléatoirement dans le carré et qui affiche les points dans le disque.

   Code de déblocage de la correction :

Ecrire une fonction demo() qui demande à l'utilisateur le nombre de points voulu pour l'approximation, qui affiche l'approximation obtenue ainsi que le nombre de points dans le disque et qui affiche l'ensemble des points dans le disque. On pourra ajouter le tracé du cercle et du carré avec le module numpy.

Code de déblocage de la correction :

Une autre façon d'obtenir une approximation de $\pi$ est de considérer le quart du disque unité et de le découper en rectangle et d'ajouter la surface de chaque rection pour obtenir une approximation de $\pi$.

Ecrire une fonction pi_rect(n) qui renvoie une approximation de $\pi$ à partir de n rectangles et qui affiche une représentation du quart de cercle et des rectangles.

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0=1$, $y_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ :

$$\left \{ \begin{array}{l} x_{n+1} = \frac73x_n+\frac13y_n+1 \\ y_{n+1} = \frac{20}3x_n+\frac83y_n+5 \\ \end{array} \right. $$

Ecrire une fonction suites(n) qui affiche une liste des couples $(x_i;y_i)$ pour $i\leq n$ et qui propose une représentation de ces points.

$(0 ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexes.

Pour la figure, on pendra pour unité 5 cm.

On considère la suite $(z_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} z_0=0\\ z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i) z_n-1+i \textrm{, pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.$

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point du plan complexe qui a pour affixe $z_n$

1. 1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$ , $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

   2. Placer, dans le plan complexe, les points $M_0$, $M_1$ , $M_2$, $M_3$ et $M_4$.

2. Voici une fonction Suite_1 écrite dans le langage Python.

from cmath import *
def Suite_1(n):
	z=0
	for i in range(1,n+1):
		z=(1+1j)/2*z-1+1j
	return z 

1. Saisir cette fonction et l'exécuter pour $n=1$, $n=2$, $n=3$ et $n=4$. Quels rsultats retrouve-t-on ainsi ?
Pour rappel :
On importe le module cmath pour travailler avec les nombres complexes. Les complexes se notent : 1+1j, 3j, -1+0j, ...
2. Utiliser cette fonction pour obtenir $z_5$ , $z_6$, $z_7$ et $z_8$.

3. Placer, dans le plan complexe, les points $M_5$, $M_6$ , $M_7$ et $M_8$.

3. $(Z_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $Z_n=z_n+2$.
1. Quel est le vecteur dont l'affixe est $Z_n$ ?
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $Z_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1+i)Z_n$.

Ecrire l'expression de $Z_{n+1}$ et mettre $1+i$ en facteur.

3. Déterminer $Z_0$.
4. Ecrire en langage Python, une fonction Suite_2 qui, pour une valeur $n$ du paramètre renvoie le nombre complexe $Z_n$.
5. Saisir ce programme à l'aide de cette fonction, conjecturer une propriété des nombres $Z_{4k}$ et $Z_{4k+2}$, pour $k$ nombre entier naturel.

Exécuter ce programme pour des paramètres de la forme $4k$ et $4k+2$.

4. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_n=\dfrac{(1+i)^n}{2^{n-1}}$.
      En déduire l'exprerssion de $z_n$ en fonction de $n$.
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $(1+i)^{4k}$ est un nombre réel et $(1+i)^{4k+2}$ est un imaginaire pur.
      Que peut-on en déduire pour les points $M_{4k}$ et $M_{4k+2}$ ?
5. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|Z_n|=2\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$
   2. Quelle est la limite de la suite $(|Z_n|)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   3. Interpréter géométriquement ce résultat.